determinar um ponto para obter a área de um triângulo (exame nacional 2013)

[Carecadamatematica]

Boa noite.
Na pergunta 4.3 do Exame nacional de matemática (635) de 1013 tem-se a pergunta :


Para g(x)=x.Ln(x)-x+Ln^2(x)
Sabe-se que:
•  A é o ponto de coordenadas (2, 0)
•  B é o ponto de coordenadas (5, 0)
•  P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g
Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP]
Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1

Não compreendo pq é q na proposta de solução se encontra logo no 1º passo
A_tg[ABP]=3/2*|g(x)|=1

Eu ainda comecei por usar a formula de Heron, mas se continuasse ficaria +1h só para resolver esta questão.
Qual foi o atalho mental usado nesta questão?
Obrigado.

[aisilva]

Nesse primeiro passo o que fizeram foi escrever a área do triângulo em função da informação que é dada. A área de um triângulo é:

\(A=\frac{base\times altura}{2}\)

Ora neste caso, podemos considerar que a base do triângulo é a distância entre A e B, que é 3. Assim sendo a fórmula simplifica-se e fica:

\(A=\frac{3\times altura}{2}\)

Neste caso, a distância do ponto P à base será a altura do triângulo. Mas esta distância não é mais que a distância de P ao eixo dos xx', ou seja, o módulo da ordenada da função, que se pode representar por |g(x)|. Desta forma, a fórmula da área do triângulo fica, de facto:

\(A=\frac{3\times |g(x)|}{2}\)

[Carecadamatematica]

@aisilva : desde já o meu obrigado.
Na raiz da minha dúvida está a convicção que a formula 1/2b*h=S só pode ser usada em Triângulos retangulos.
Tu e a APM estão-me a dizer que não... que posso generalizar, correto?

[aisilva]

Sim é precisamente isso. A fórmula de cálculo da área de triângulos é sempre essa, quer sejam agudos, rectângulos ou obtusos (ver a figura em anexo) e é indiferente qual o lado que é tomado como base, desde que a altura seja a correspondente (a altura é tomada como a distância que vai da base considerada ao vértice oposto à base).

Anexos

area-triangulo.gif (5.14 KiB) Visualizado 1328 vezes

[Carecadamatematica]

Engraçado, como com uma troca de palavras se resolveu uma duzia de exercicios de uma forma muito mais simples.
Obrigado @aisilva pela explicação