mpaulamamede Escreveu:Se y=3+senx.cosx, 0<x<π/2, então o maior valor que y pode assumir é:
Derive e iguale a zero :
\(y'=cos^{2}(x)-sen^{2}(x)=cos(2x)\)
logo :
\(cos(2x)=0 \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)
Como o intervalo é \(0<x<\frac{\pi}{2}\), a única solução que atende ao enunciado é \(x=\frac{\pi}{4}\),para provarmos que este ponto realmente é um ponto de máximo absoluto, faremos o seguinte :
\(\lim_{x \to 0^{+}} \; 3+senx*cosx=3\)
\(\lim_{x \to \left( \frac{\pi}{2} \right)^{-}} \; 3+senx*cosx=3\)
\(f\left( \frac{\pi}{4} \right)=3+sen\left( \frac{\pi}{4} \right)*cos\left( \frac{\pi}{4} )=3.5\)
logo \(x=\frac{\pi}{4}\) é o ponto que fornece o maior valor da função \(y=3+senx.cosx\) no intervalo \(0<x<\frac{\pi}{2}\) e o máximo valor é 3.5 .
Segunda Solução :
\(y=3+senx*cosx\)
\(y=3+\frac{sen(2x)}{2}\)
essa função é máxima quando \(sen(2x)=1\) pois esse é o maior valor que esta função seno pode assumir , e o valor de "x" que maximiza a função seno pode ser facilmente percebido que é \(x=\frac{\pi}{4}\) (está dentro do intervalo considerado) já que : \(sen\left( 2*\frac{\pi}{4} \right)=sen\left( \frac{\pi}{2} \right)=1\).
\(y_{\text{maximo}}=3+\frac{1}{2}=3.5\)