Atividade impossível de Geometria da Fuvest

[Aramis Leite]

Boa tarde amigos, sou novo aqui no fórum, e já tenho uma pergunta a ser feita.

Estou com uma dúvida em um exercício da Fuvest que está tirando meu sono... hahaha

Será que alguém poderia me dar um HELP?!

A questão é a seguinte:

(Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo tem centro C, raio igual a 2 cm e é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determinar a área da região hachurada.

Anexos

Fuvest 12.JPG (22.59 KiB) Visualizado 1946 vezes

[Walter R]

Se você souber calcular a área da circunferencia abaixo da secante BA, estará tudo resolvido. Imagine um quadrado circunscrito a esta circunferencia. A área deste quadrado é \(A_q= 4.4=16\), pois a circunferencia tem raio 2. A área da circunferencia vale \(A_c=\pi.r^2=4 \pi\). A área que "sobra" no quadrado circunscrito é a diferença \(A_q-A_c=16-4\pi\). A área compreendida entre os pontos A, B e a origem O vale, portanto \(\frac{16-4\pi}{4}=4-\pi\). Consegues ir adiante?

[Aramis Leite]

Se você souber calcular a área da circunferencia abaixo da secante BA, estará tudo resolvido. Imagine um quadrado circunscrito a esta circunferencia. A área deste quadrado é \(A_q= 4.4=16\), pois a circunferencia tem raio 2. A área da circunferencia vale \(A_c=\pi.r^2=4 \pi\). A área que "sobra" no quadrado circunscrito é a diferença \(A_q-A_c=16-4\pi\). A área compreendida entre os pontos A, B e a origem O vale, portanto \(\frac{16-4\pi}{4}=4-\pi\). Consegues ir adiante?

Olá Walter, não estou conseguindo compreender após você falar sobre a área compreendida entre os pontos A, B e a origem O, por que vale aquilo?

Não poderia fazer uma área de um triângulo?

Abraços.

[Walter R]

Também. A área do triangulo AOB vale \(\frac{2.2}{2}=2\)(triangulo retangulo). Desta área deves descontar \(4-\pi\) ( a área dentro deste triangulo mas fora da circunferencia), obtendo \(2-(4-\pi)=\pi-2\) (a área dentro deste triangulo e dentro da circunferencia). Agora é só descontar esta área da área da semi-circunferencia, que obterás a resposta correta (assim espero).

[Aramis Leite]

Vish cara, agora travou tudo...

Eu não entendo o por que você tirou a área do circulo da área do quadrado, sobrando as extremidades do quadrado, sendo que a região hachurada está dentro da circunferência...

[Walter R]

Oi, Aramis.
A área hachurada, pelas minhas contas, vale \(\frac{\pi2^2}{2}-(\pi-2)=2\pi-\pi+2=\pi+2\).