Como demonstrar que sen(arcsenx)=?

[Yuri94]

Bom, pessoal, procurei conteúdo acerca na net, mas não encontrei, apelei pro fórum. Preciso de algum argumento pra mostrar que sen(arcsenx)=x.

Alguém poderia me ajudar?

[josesousa]

arcsen é a função inversa do seno, logo, é claro que sen(arsen(x))=x

[Sobolev]

Tal como disse o José Sousa, é mesmo uma questão de definição... Quando calculamos a quantidade sen( arcsen x) estamos a calcular "o seno do ângulo cujo seno é x". Por isso vê que a resposta está na própria pergunta... É como perguntar, "qual é a cor do cavalo branco de Napoleão?".

[Yuri94]

Só agora depois de vocês avisarem eu vim pensar nisso. Entendi plenamente. Obrigado, pessoal!

[Yuri94]

Pessoal, estou upando este tópico porque fiquei uma nova dúvida.

É o seguinte, pra inverter a função y=senx eu posso usar aquela técnica de, simplesmente, trocar y pelo x e pronto? (ou seja, x=seny seria a mesma coisa que y=arcssenx). Caso eu não possa, gostaria de saber o porquê.

Valeu!

[Sobolev]

Não pode... A técnica que refere não consiste em trocar o x pelo y mas sim em partir de uma expressão do tipo y = f(x) e chegar a outra, equivalente, mas na forma x = g(y). Repare que as expressões de f e g não têm que ser iguais, e em geral não são.

Exemplo: Considere a função \(y=2x+1\). A expressão da função inversa pode ser obtida resolvendo em ordem a x, isto é,
\(y = 2x+1 \Leftrightarrow 2x = y-1 \Leftrightarrow x= \frac 12 y - \frac 12\)

[Yuri94]

Olá, Sobolev, perdão, mas me expressei errado.

Tipo, eu quis dizer se eu posso partir da ideia de trocar o x pelo y na função seno e depois isolar o y para conseguir a inversa. Só que, porém, com as técnicas do ensino médio eu não posso fazer isso, mas no estudo de cálculo sei uma forma conveniente de não só isolar o y, mas a sua derivada, que consequentemente seria a derivada da função inversa (porque eu isolaria o dy/dx).

Corrija meu pensamento se eu estiver errado, mas seria muito conveniente pra mim passar direto do y=senx <-> x=seny e depois aplicar a derivada pelos motivos que eu disse, porque acho uma forma coerente.

Muito obrigado.

[josesousa]

Uma coisa a ter em atenção.

\(y=senx\) tem como domínio todos os reais, ou seja, y está entre 1 e 1, e x pode ser qualquer real.

Já \(x=arcsen(y)\) tem como domínio \(\left[ -1, 1 \right]\), mas o x assume só valores em \(\left[ -\pi/2, \pi/2\right]\).

Assim para valores de x fora do intervalo \(\left[ -\pi/2, \pi/2\right]\), \(x=arcsen(sen(x))\) não devolve o valor inicial de x.

[Yuri94]

José, você tocou num ponto muito importante pra mim.

Estava estudando os intervalos da função seno e fiquei com a pulga atrás da orelha.

Tipo, se eu, por ventura, escolhesse o intervalo Dy[π/2,3π/2] Iy[1,-1] a minha função y=senx seria estritamente decrescente e, portanto, admitiria inversa.

O problema é que se eu aplicasse os procedimentos direitinho, o meu cosy seria negativo, uma vez que meu intervalo estaria entre o segundo e terceiro quadrante, portanto eu teria -1/(1-x²)^1/2, o que também é considerada a derivada de arccosy com o domínio da primitiva entre 0 e π.

Então, eu estaria errado ou a derivada de arcsenx=1/(1-x²)^1/2 não é 100% verdade? Abraços/

[josesousa]

Essa derivada do arcsen tem a ver exatamente com o domínio que se considera. A do arccos, de forma idêntica.