Triângulo Retângulo Inscrito em Circunferência

[pcpelizzaro]

Olá, tenho um problema e seria muito grato se alguém pudesse me expor a solução:

Determinar o perímetro de um triângulo retângulo de 150 m² de área inscrito numa circunferência de 12,5 m de raio.

O gabarito do problema é 60cm.

Muito obrigado desde já.

[Fraol]

Oi, se o triângulo é inscrito na circunferência então a sua hipotenusa é um diâmetro (25 m).
A área é \(150 = 12,5 \times h\), então \(h = 12\).

Se chamarmos a hipotenusa de \(a\) e os catetos \(b\) e \(c\), podemos usar as seguintes relações de triângulos retângulos para concluir a questão:

\(ah = bc\) donde sai, por exemplo, \(b = \frac{ah}{c}\)

\(a^2 = b^2 + c^2\)

[pcpelizzaro]

Desculpe, acho que não entendi alguns pontos.

Tratando-se de um triângulo retângulo inscrito em circunferência, os catetos devem ser iguais, não? Assim \(ah = bc\) é o mesmo que \(ah = b^2\). Se \(ah = 300, b = \sqrt{300}\). Entretando, a raiz de 300 não é exata, e a solução do problema é um número inteiro.

Outra coisa, se o raio é 12,5, a altura não devia ser o mesmo? Pois nesse caso ela vai de um vértice até a metade da hipotenusa, ou seja, vai até o centro da circunferência.

Poderia me apontar que erros cometi nas afirmações acima? Obrigado.
Também quero agradecer pela relação \(ah = bc\), que desconhecia totalmente.

[Fraol]

Tratando-se de um triângulo retângulo inscrito em circunferência, os catetos devem ser iguais, não

Não necessariamente. Você tem apenas 2 triângulos retângulos com catetos iguais, medindo \(r \sqrt{2}\) cada, inscritos numa circunferência. Mas nesse caso não atendem às premissas do enunciado. Disso também decorre as suas demais conclusões.

Voltando à minha sugestão:

\(ah = bc\) donde sai, por exemplo, \(b = \frac{ah}{c}\)

\(a^2 = b^2 + c^2\)

Então \(a^2 = \left( \frac{ah}{c} \right)^2 + c^2\)

De onde sai que \(c^4 + (ah)^2 - a^2c^2 = 0\)

Resolvendo essa equação, considerando apenas as soluções válidas para o problema terá \(b= 15\) e \(c = 20\) ou vice-versa. Juntando com a medida da hipotenusa vem a resposta. Observe que são quatro triângulos nestas condições.