duvida de iniciado, trigonometria ( métodos analíticos)

[ramosnewton]

Boas, sou estudante do secundário, que anda a tentar aprender por si mesmo umas coisinhas, e arranjei um livro para tal.

Surgiu-me um exercício que julgo ser bastante simples, do mais simples que há, mas não consigo resolve-lo

Perdoem-me a ignorância, e dêem-me uma mãozinha.


Seja :
\(tg(\pi+\alpha )=1/2\) e \(-\pi/2< \alpha < \pi/2\)

Calcule: \(\tan (\pi/2 +\alpha )+\cot (\pi/2-\alpha )+\sin^2(\pi-\alpha )\)


PS: Procuro aprender a resolver via métodos exclusivamente Analíticos!!!

[josesousa]

Lembrar que

\(tan(\alpha)=\frac{1}{cotan(\alpha)}\)

\(\tan(\pi/2+\alpha) = -\frac{1}{tan(\pi+\alpha)}\)

\(cotan(\pi/2-\alpha) = -\frac{1}{cotan(\pi-\alpha)}
=-tan(\pi - \alpha)=tan(\pi + \alpha)\)

Ajuda?

[ramosnewton]

Obrigado amigo;)
Pela manhã irei voltar a pensar no problema, que só agora vi a sua resposta


Obrigado

[ramosnewton]

ainda não consegui chegar lá
Consigo fazer, determinando o \(\alpha\) , e depois substituindo... Mas isso não me interessa, porque para tal uso a calculadora e tou a ver se me livro dela...isto nós os miudos de hoje é muitos maus hábitos.

[josesousa]

Já vimos que

\(\tan(\pi/2+\alpha) = -\frac{1}{tan(\pi+\alpha)}=
=-2\)

\(cotan(\pi/2-\alpha) = -\frac{1}{cotan(\pi-\alpha)}
=-tan(\pi - \alpha)=tan(\pi + \alpha)=
=1/2\)

Para calcular \(sen^2(\pi+\alpha)\),

\(sen^2(\pi+\alpha)+cos^2(\pi+\alpha)=1\)
Dividimos por \(sen^2(\pi+\alpha)\)
\(1+cotg^2(\pi+\alpha)=\frac{1}{sen^2(\pi+\alpha)}\)
\(\frac{1}{1+cotg^2(\pi+\alpha)}=sen^2(\pi+\alpha)\)
Dividimoso numerador e o denominador do membro da direita por \(cotg^2(\pi+\alpha)\)
\(\frac{tg^2(\pi+\alpha)}{tg^2(\pi+\alpha)+1}=sen^2(\pi+\alpha)\)

E usando os valores dados
\(sen^2(\pi+\alpha)[/=\frac{(1/2)^2}{1+^(1/2)^2}=
=0,2\)

Logo o resultado é -2+1/2+0,2=-2+0,5+0,2=-1,3

NOTA: Confirma com o cálculo que fiz à parte no PC.

[ramosnewton]

Muito Obrigado