Geometria 10º ano - A circunferência tangente [resolvida]
10 jan 2015, 11:29
Bom dia a todos,
Na figura seguinte apresenta-se:
- um quadrado [ABCD] de área igual a 16 cm²;
- uma circunferência que passa nos pontos A e B e é tangente ao lado [DC] do quadrado;
- a circunferência interseta o lado [AD] nos pontos A e S.
Qual é o comprimento do segmento de reta [SD]?
Já tentei várias vezes resolver o problema, mas o facto do quadrado estar inscrito na circunferência e ao mesmo circunscrito baralha-me...
Se alguém me pudesse ajudar agradecia.
Na figura seguinte apresenta-se:
- um quadrado [ABCD] de área igual a 16 cm²;
- uma circunferência que passa nos pontos A e B e é tangente ao lado [DC] do quadrado;
- a circunferência interseta o lado [AD] nos pontos A e S.
Qual é o comprimento do segmento de reta [SD]?
Já tentei várias vezes resolver o problema, mas o facto do quadrado estar inscrito na circunferência e ao mesmo circunscrito baralha-me...
Se alguém me pudesse ajudar agradecia.
Re: Geometria 10º ano - A circunferência tangente
10 jan 2015, 14:24
Bom dia, Telma!
Vou anexar uma imagem como resposta!
Abraços!
Vou anexar uma imagem como resposta!
Abraços!
- Anexos
-
Re: Geometria 10º ano - A circunferência tangente
11 jan 2015, 14:37
Olá Baltuilhe, muito obrigada por me ter respondido tão prontamente! A sua resposta está correta, mas eu não consigo acompanhar o seu raciocínio. Não se importa de me explicar passo a passo a resolução? Desculpe o incómodo, mas sinceramente não consigo entender...
Obrigada, novamente.
Abraços!
Obrigada, novamente.
Abraços!
Re: Geometria 10º ano - A circunferência tangente
14 jan 2015, 01:29
Telma,
Potência de Ponto funciona assim:
Imagine um Ponto P externo a uma circunferência, tal como no desenho que deixei.
Por este ponto P trace duas secantes (retas que cortam a circunferência em dois pontos distintos), no caso, pontos A, B, C e D.
Pode-se demonstrar que os segmentos PA, PB, PC e PD carregam a seguinte propriedade:
PA x PB = PC x PD
Caso ao invés de termos duas secantes tivéssemos um segmento tangente em um ponto P (ou ponto S), teríamos a relação:
PT^2 = PA x PB ou
PS^2 = PA x PB
Seguindo a mesma notação, mas agora por um ponto P interno a uma circunferência, tal como no outro desenho, podemos provar a MESMA relação, ou seja:
PA x PB = PC x PD
No exercício que você passou, observe pelo ponto D (externo).
Você tem DS.DA (veja que S e A estão na mesma secante.
E também tem DT (eu chamei de T o ponto onde o lado CD tangencia a circunferência por fora).
Seguindo a lógica da potência de ponto teremos:
DT^2 = DS x DA
2^2 = x . 4
x = 1, portanto!
Espero ter elucidado melhor!
Amplexos!
Potência de Ponto funciona assim:
Imagine um Ponto P externo a uma circunferência, tal como no desenho que deixei.
Por este ponto P trace duas secantes (retas que cortam a circunferência em dois pontos distintos), no caso, pontos A, B, C e D.
Pode-se demonstrar que os segmentos PA, PB, PC e PD carregam a seguinte propriedade:
PA x PB = PC x PD
Caso ao invés de termos duas secantes tivéssemos um segmento tangente em um ponto P (ou ponto S), teríamos a relação:
PT^2 = PA x PB ou
PS^2 = PA x PB
Seguindo a mesma notação, mas agora por um ponto P interno a uma circunferência, tal como no outro desenho, podemos provar a MESMA relação, ou seja:
PA x PB = PC x PD
No exercício que você passou, observe pelo ponto D (externo).
Você tem DS.DA (veja que S e A estão na mesma secante.
E também tem DT (eu chamei de T o ponto onde o lado CD tangencia a circunferência por fora).
Seguindo a lógica da potência de ponto teremos:
DT^2 = DS x DA
2^2 = x . 4
x = 1, portanto!
Espero ter elucidado melhor!
Amplexos!
Re: Geometria 10º ano - A circunferência tangente
14 jan 2015, 07:16
Olá caro Baltuilhe 
A sua explicação foi bastante clara, agora com esta magnífica explicação e com a imagem que me tinha deixado antes consigo perceber perfeitamente a resolução. Agora o resto depende de mim...vou ter de me informar sobre a potência de ponto, porque tenho a sensação que nunca ouvi falar nisto, mas posso já ter aprendido e esquecido, enfim prevejo muito estudo "geométrico" no meu futuro...
Agradeço imenso a sua ajuda, nem imagina o quão importante foi o esclarecimento desta dúvida!
Abraços meu amigo!!!
A sua explicação foi bastante clara, agora com esta magnífica explicação e com a imagem que me tinha deixado antes consigo perceber perfeitamente a resolução. Agora o resto depende de mim...vou ter de me informar sobre a potência de ponto, porque tenho a sensação que nunca ouvi falar nisto, mas posso já ter aprendido e esquecido, enfim prevejo muito estudo "geométrico" no meu futuro...
Agradeço imenso a sua ajuda, nem imagina o quão importante foi o esclarecimento desta dúvida!
Abraços meu amigo!!!