Trigonometria com identidade de Polinômios

[aluno325]

Boa tarde! Poderiam me ajudar com esse exercício? Meu professor deu uma dica que seria preciso usar um identidade de Polinômios, mas não consegui entender o exercício.

Obrigado!

Considere o triângulo ABC de lados a =BC, b =AC e c=AB e ângulos internos α = C AB, β = ABC e γ = B CA.
Sabendo-se que a equação x2 – 2bx cos α + b2 – a2 = 0
admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que
a) α = 90°.
b) β = 60°.
c) γ = 90°.
d) O triângulo é retângulo apenas se α = 45°.
e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Como foi afirmado c ser uma raiz dupla da equação do segundo grau, o valor do discriminante delta vale zero.
Então:
\(x^2-2bx \cos \alpha +b^2-a^2=0
\Delta=(-2b \cos \alpha)^2-4(b^2-a^2) = 0
4b^2 {\cos}^2 \alpha -4b^2+4a^2=0
4b^2-4b^2 {\cos}^2 \alpha = 4a^2
4b^2 \left (1- {\cos}^2 \alpha \right ) = 4a^2
b^2 \left (1- {\cos}^2 \alpha \right ) = a^2
\left (1- {\cos}^2 \alpha \right ) = \frac {a^2}{b^2}
{\sin}^2 \alpha = {\left (\frac{a}{b} \right )}^2
\sin \alpha = \frac {a}{b}\)

Pela definição, seno é cateto oposto sobre hipotenusa.
Então, b é hipotenusa e o triângulo é retângulo! Resp: letra e

[aluno325]

Ok! Muito obrigado!! me ajudou muito!!!!