Circunferência inscrita tangenciando um triângulo

[Breno Vaz Pereira]

tracei a bissetriz no segmento \(PT\) e sabendo que o segmento \(MT\) é igual ao \(MT1\), dei o nome de X. E que o segmento \(NT\) é igual ao \(NT1\), dei o nome de Y, e apliquei a semelhança de triângulos: \(\frac{(20-x)}{x} = \frac{(20-y)}{y}\), porém não cheguei a lugar algum, alguém poderia me ajudar?

Anexos

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Essa questão pode ser resolvida pela seguinte ideia: Pelo ponto P externo à circunferência foram traçados os segmentos \(PT_1\) e \(PT_2\). Sendo os pontos \(T_1\) e \(T_2\) tangentes à circunferência, então, \(PT_1 = PT_2 = 20cm\).
O mesmo raciocínio podemos utilizar nos segmentos \(MT_1\) e \(MT\), que são congruentes e \(NT_2\) e \(NT\) também congruentes entre si.

Se observar, verá que o perímetro do triângulo pode ser calculado da seguinte forma:
\(PM+MN+PN=PM+MT+NT+PN=
PM+MT_1+NT_2+PN=
PT_1+PT_2=20+20=40\)

As identidades que usei:
\(MT=MT_1
NT=NT_2
PM+MT_1=PT_1
PN+NT_2=PT_2\)

Espero ter ajudado!

[Breno Vaz Pereira]

Obrigado mais uma vez mestre Baltuilhe!