Relações entre áreas de semicírculos formando um triângulo retângulo
10 fev 2015, 00:22
Aparenta ser um problema simples, mas não consegui chegar a uma lógica para resolvê-lo.
Se alguém puder me ajudar, ficarei muito grato
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Re: Relações entre áreas de semicírculos formando um triângulo retângulo
10 fev 2015, 00:45
Olá, este é uma das formas usadas para demonstrar a validade do Teorema de Pitágoras.
Sabe-se que a área de uma semicircunferência é dado por: \(\frac{\pi r^2}{2}\)
\(S_1=\frac{\pi \left ( \frac{\overline{DB}}{2} \right )^2}{2}=\frac{\pi\overline{DB}^2 }{8}
S_2=\frac{\pi \left ( \frac{\overline{DA}}{2} \right )^2}{2}=\frac{\pi\overline{DA}^2 }{8}
S_3=\frac{\pi \left ( \frac{\overline{AB}}{2} \right )^2}{2}=\frac{\pi\overline{AB}^2 }{8}\)
Pelo Teorema de Pitágoras tem-se: \(\overline{DB}^2=\overline{AB}^2+\overline{DA}^2\)
\(\frac{\pi\overline{DB}^2 }{8}=\frac{\pi(\overline{AB}^2+ \overline{DA}^2)}{8}=\frac{\pi\overline{AB}^2+ \pi\overline{DA}^2}{8}=\frac{\pi\overline{AB}^2 }{8}+\frac{\pi\overline{DA}^2 }{8}=S_3+S_2
\Leftrightarrow \: S_1=S_2+S_3\)
Opção a)
Sabe-se que a área de uma semicircunferência é dado por: \(\frac{\pi r^2}{2}\)
\(S_1=\frac{\pi \left ( \frac{\overline{DB}}{2} \right )^2}{2}=\frac{\pi\overline{DB}^2 }{8}
S_2=\frac{\pi \left ( \frac{\overline{DA}}{2} \right )^2}{2}=\frac{\pi\overline{DA}^2 }{8}
S_3=\frac{\pi \left ( \frac{\overline{AB}}{2} \right )^2}{2}=\frac{\pi\overline{AB}^2 }{8}\)
Pelo Teorema de Pitágoras tem-se: \(\overline{DB}^2=\overline{AB}^2+\overline{DA}^2\)
\(\frac{\pi\overline{DB}^2 }{8}=\frac{\pi(\overline{AB}^2+ \overline{DA}^2)}{8}=\frac{\pi\overline{AB}^2+ \pi\overline{DA}^2}{8}=\frac{\pi\overline{AB}^2 }{8}+\frac{\pi\overline{DA}^2 }{8}=S_3+S_2
\Leftrightarrow \: S_1=S_2+S_3\)
Opção a)