Copo cilindrico de raio 3cm tangente do angulo de inclinaçao

[brunobhc]

Olá amigos! Não consigo resolver esse:


Um copo cilíndrico, cujo raio da base mede 3cm e altura 9cm, está completamente cheio de água e é cuidadosamente inclinado de modo a derramar 2/5 de seu conteúdo. Desse modo, a tangente do ângulo de inclinação é?

Resposta 5/6.



Obrigado !

[Rui Carpentier]

Seja \(\theta\) a tangente do
ângulo de inclinação do copo. Como 2/5 é menor que 1/2 a base do copo não chega a ser descoberta (continua coberta de água). Assim o volume de água derramado é dado pelo integral:

\(\int_{-r}^{r}\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\int_{0}^{\theta(x+r)}dzdydx=\int_{-r}^{r}2\sqrt{r^2-x^2}\theta(x+r)dx\) em que \(r\) é o raio da base do cilindro.

Calculando este integral obtemos o valor \(\int_{-r}^{r}2\sqrt{r^2-x^2}\theta(x+r)dx=\pi\theta r^3\). Este valor deve ser 2/5 do volume total do cilindro que é dado por \(\pi r^2 h\) (onde \(h\) é a altura do cilindro). Portanto, \(\pi\theta r^3=\frac{2}{5}\pi r^2 h\), donde se tira que \(\theta =\frac{2h}{5r}\). Sendo \(r=3\) e \(h=9\) temos que \(\theta=6/5\).

[brunobhc]

Não há outro jeito de resolver? Estou no ensino médio e não sei Integrais. OBrigado.

[Rui Carpentier]

Não há outro jeito de resolver? Estou no ensino médio e não sei Integrais. OBrigado.

Pensando um pouco, sim. E até é capaz de ser mais fácil.
Seja \(l\) o comprimento máximo entre o bordo do copo e a parede descoberta aquando o derrame. A tangente do ângulo de inclinação é dada por \(\theta=l/2r\) em que \(r\) é o raio da base do cilindro (r=3cm neste caso). O volume derramado é por simetria metade do volume do cilindro com a mesma base e altura \(l\), ou seja é \(\frac{1}{2}\pi r^2 l\). Sabendo que também é 2/5 do volume total do copo (que é \(\pi r^2 h\), com \(h=3\)cm a altura do copo) temos a equação \(\frac{1}{2}\pi r^2 l=\frac{2}{5}\pi r^2 h\) donde se tira que \(l=\frac{4}{5}h\) logo \(\theta=\frac{l}{2r}=\frac{4h}{10r}=\frac{6}{5}\).

[brunobhc]

Ajudou muito!. Mas na verdade a tangente do angulo será 2r / L , pois o angulo correto é o complementar desse que você pensou! Por isso a resposta é 5/6 e a sua resolução forneceu 6/5. Consegui visualizar, por isso estou retificando seu procedimento!


Muito obrigado.