Calcule os ângulos apresentados em um octógono regular e um pentágono regular de mesmo lado
12 mar 2015, 21:04
A figura apresenta um octógono regular e um pentágono regular de mesmo lado. Determine as medidas dos ângulos indicados na figura.
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Re: Calcule os ângulos apresentados em um octógono regular e um pentágono regular de mesmo lado [resolvida]
13 mar 2015, 04:23
Boa noite!
Primeiramente vamos calcular o valor dos ângulos internos tanto do pentágono quanto do octógono. Temos duas formas de calcular. A primeira pela soma dos ângulos externos (vou calcular o octógono por esta) e a outra diretamente pela soma dos ângulos internos (vou calcular o pentágono por esta).
Pentágono:
\(n=5\\
S_e=360^{\circ}\\
a_e=\frac{S_e}{n}\\
a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\\
a_e=\frac{360^{\circ}}{5}\\
a_e=72^{\circ}\)
Como a soma do ângulo interno com o externo vale 180, temos:
\(a_i+a_e=180^{\circ}
a_i+72^{\circ}=180^{\circ}
a_i=180^{\circ}-72^{\circ}
a_i=108^{\circ}\)
No desenho, no triângulo \(\Delta BAC\) o ângulo \(\hat{B}=108^{\circ}\).
Sendo este triângulo isósceles tem 2 ângulos iguais, o \(\hat{A}\) e o \(\hat{C}\)
Vou chamar estes ângulos de z para calcular.
Então:\(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\\
z+z+108^{\circ}=180^{\circ}\\
2z=72^{\circ}
z=36^{\circ}\)
Este também é o valor de b no desenho.
O ângulo a é metade de um ângulo interno do octógono (pela simetria):
Então:
\(a=\frac{135^{\circ}}{2}\\
a=67,5^{\circ}\)
O ângulo w é o ângulo externo ao triângulo \(\Delta DAB\), portanto, ele é a soma de a com b:
\(w=a+b\\
w=67,5^{\circ}+36^{\circ}\\
w=103,5^{\circ}\)
Se observar o vértice A relativamente ao octógono e ao pentágono verá que o ângulo x é a diferença entre os dois ângulos internos:
\(x=135^{\circ}-108^{\circ}\\
x=27^{\circ}\)
Novamente, temos outro triângulo isósceles, o triângulo \(\Delta AEF\)
Então:
\(x+2y=180^{\circ}\\
27^{\circ}+2y=180^{\circ}
2y=180^{\circ}-27^{\circ}
2y=153^{\circ}
y=76,5^{\circ}\)
Espero ter ajudado!
Primeiramente vamos calcular o valor dos ângulos internos tanto do pentágono quanto do octógono. Temos duas formas de calcular. A primeira pela soma dos ângulos externos (vou calcular o octógono por esta) e a outra diretamente pela soma dos ângulos internos (vou calcular o pentágono por esta).
Pentágono:
\(n=5\\
S_e=360^{\circ}\\
a_e=\frac{S_e}{n}\\
a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\\
a_e=\frac{360^{\circ}}{5}\\
a_e=72^{\circ}\)
Como a soma do ângulo interno com o externo vale 180, temos:
\(a_i+a_e=180^{\circ}
a_i+72^{\circ}=180^{\circ}
a_i=180^{\circ}-72^{\circ}
a_i=108^{\circ}\)
No desenho, no triângulo \(\Delta BAC\) o ângulo \(\hat{B}=108^{\circ}\).
Sendo este triângulo isósceles tem 2 ângulos iguais, o \(\hat{A}\) e o \(\hat{C}\)
Vou chamar estes ângulos de z para calcular.
Então:\(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ}\\
z+z+108^{\circ}=180^{\circ}\\
2z=72^{\circ}
z=36^{\circ}\)
Este também é o valor de b no desenho.
O ângulo a é metade de um ângulo interno do octógono (pela simetria):
Então:
\(a=\frac{135^{\circ}}{2}\\
a=67,5^{\circ}\)
O ângulo w é o ângulo externo ao triângulo \(\Delta DAB\), portanto, ele é a soma de a com b:
\(w=a+b\\
w=67,5^{\circ}+36^{\circ}\\
w=103,5^{\circ}\)
Se observar o vértice A relativamente ao octógono e ao pentágono verá que o ângulo x é a diferença entre os dois ângulos internos:
\(x=135^{\circ}-108^{\circ}\\
x=27^{\circ}\)
Novamente, temos outro triângulo isósceles, o triângulo \(\Delta AEF\)
Então:
\(x+2y=180^{\circ}\\
27^{\circ}+2y=180^{\circ}
2y=180^{\circ}-27^{\circ}
2y=153^{\circ}
y=76,5^{\circ}\)
Espero ter ajudado!
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