Área de uma região dentro do quadrado [resolvida]
06 abr 2015, 22:00
(UFRN-2015.1) O escudo de um time de futebol foi esboçado a partir da figura abaixo:
(ver anexo)
A figura é um quadrado de 16 cm² de área no qual se desenhou uma diagonal e parte da parábola y=x². Dentre as opções abaixo, a que mais se aproxima da área da região destacada é
A) 6,0 cm²
B) 5,5 cm²
C) 5,0 cm²
D) 6,5 cm²
(ver anexo)
A figura é um quadrado de 16 cm² de área no qual se desenhou uma diagonal e parte da parábola y=x². Dentre as opções abaixo, a que mais se aproxima da área da região destacada é
A) 6,0 cm²
B) 5,5 cm²
C) 5,0 cm²
D) 6,5 cm²
- Anexos
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- escudo.png (3.78 KiB) Visualizado 4588 vezes
Re: Área de uma região dentro do quadrado
06 abr 2015, 22:03
Como faço para resolver?
Re: Área de uma região dentro do quadrado
06 abr 2015, 22:36
O mais sensato é extrapolar o desenho para um plano cartesiano. Sendo o lado inferior do quadrado o eixo dos x e o eixo dos y é metade do quadrado para o qual o vértice da parábola encontra o lado inferior do quadrado. Sendo esse ponto a origem!
Desta forma fica fácil. Sabe-se que cada lado do quadrado é 4 (como a origem é no ponto de interseção da parábola com o quadrado). Basta encontrar a equação da reta que faz de diagonal que é bem simples. Como é diagonal vai ter declive 1 \(\tan 45\)\(=1\) a equação da reta é:
\(y=x+2\)
Agora calculamos a interseção para integrar.
\(x+2=x^2\Leftrightarrow x^2-x-2=0
x=-1\: \vee \: x=2\)
Desta forma a área sombreada é dada por:
\(\int_{-1}^{2}x+2-x^2=\left [ \frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3} \right ]_{-1}^{2}=\left (\frac{2^2}{2}+4-\frac{2^3}{3} \right )-\left ( \frac{(-1)^2}{2}-2-\frac{(-1)^3}{3} \right )=\frac{10}{3}-\left (-\frac{7}{6} \right )=\frac{9}{2}=4,5\)
O que deu 4,5 o qual não está nas opções. Já revi umas quantas vezes e não encontrei nenhum erro. Se alguém encontrar favor corrigir!
Desta forma fica fácil. Sabe-se que cada lado do quadrado é 4 (como a origem é no ponto de interseção da parábola com o quadrado). Basta encontrar a equação da reta que faz de diagonal que é bem simples. Como é diagonal vai ter declive 1 \(\tan 45\)\(=1\) a equação da reta é:
\(y=x+2\)
Agora calculamos a interseção para integrar.
\(x+2=x^2\Leftrightarrow x^2-x-2=0
x=-1\: \vee \: x=2\)
Desta forma a área sombreada é dada por:
\(\int_{-1}^{2}x+2-x^2=\left [ \frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3} \right ]_{-1}^{2}=\left (\frac{2^2}{2}+4-\frac{2^3}{3} \right )-\left ( \frac{(-1)^2}{2}-2-\frac{(-1)^3}{3} \right )=\frac{10}{3}-\left (-\frac{7}{6} \right )=\frac{9}{2}=4,5\)
O que deu 4,5 o qual não está nas opções. Já revi umas quantas vezes e não encontrei nenhum erro. Se alguém encontrar favor corrigir!
Re: Área de uma região dentro do quadrado
06 abr 2015, 22:47
Boa tarde, Pedro!
Eu concordo com sua resposta, tinha feito até de outra forma (já que conhecia a fórmula para calcular a área de parábola 'diretamente')... mas o que me deixou intrigado é que esta questão é para um concurso Vestibular, onde a matéria Cálculo ainda não foi ministrada...
Teria que ser por aproximação, mesmo...
Ainda estou 'batendo' cabeça aqui para ver se encontro alguma forma mais simples de se fazer um bom C.H.U.T.E. (Conclusão Hipotética Universal Técnica Explicativa)
Abraços!
Eu concordo com sua resposta, tinha feito até de outra forma (já que conhecia a fórmula para calcular a área de parábola 'diretamente')... mas o que me deixou intrigado é que esta questão é para um concurso Vestibular, onde a matéria Cálculo ainda não foi ministrada...
Teria que ser por aproximação, mesmo...
Ainda estou 'batendo' cabeça aqui para ver se encontro alguma forma mais simples de se fazer um bom C.H.U.T.E. (Conclusão Hipotética Universal Técnica Explicativa)
Abraços!
Re: Área de uma região dentro do quadrado
07 abr 2015, 00:25
Obrigada, Pedro! Como é por aproximação, sua resposta está correta. De acordo com o gabarito é a letra C.
Pois é, Baltuilhe, eu também gostaria de saber outra forma de resolver a questão que não fosse com integral, pois ainda não estudei o assunto de Cálculo... Se alguém souber, por favor, compartilhe!
Pois é, Baltuilhe, eu também gostaria de saber outra forma de resolver a questão que não fosse com integral, pois ainda não estudei o assunto de Cálculo... Se alguém souber, por favor, compartilhe!
Re: Área de uma região dentro do quadrado
07 abr 2015, 02:38
Se tomarmos as rectas tangentes à parábola nos pontos x=-1 e x=2 podemos obter uma aproximação por excesso da área sombreada, subtraindo a 8 (área da metade do quadrado abaixo da recta y=x+2) a área dos dois triângulos formados pelas referidas tangentes e pelos lados do quadrado. Não fiz as contas mas possivelmente concluiremos qua a área deve ser inferior a 5.
Re: Área de uma região dentro do quadrado
07 abr 2015, 11:31
Completando a resposta anterior, o processo que descrevi permite concluir que a área a sompreado é inferior a 5.25 usando apenas cálculo de áreas de triangulos (e algum cálculo diferencial para determinar as rectas tangentes).
Re: Área de uma região dentro do quadrado
07 abr 2015, 20:13
Obrigada, Sobolev!