Interpretar a definir o valor de K

[felipegserrano]

b) Se o seguimento AX = 5 cm; BY = k cm; CZ = 20 cm; XY = 9 cm e Y Z = 21 cm:

i) Justifique o erro na resolução abaixo:
Temos que: 5/9=k/21 então k= 5.21/9 = 5.7/3 = 35/3 cm

ii) Determine o valor de k. Justifique suas respostas.

Anexos

Desenho 1.gif (3.1 KiB) Visualizado 1369 vezes

[felipegserrano]

ALGUÉM SABERIA RESOLVER???

[Rui Carpentier]

i) Justifique o erro na resolução abaixo:
Temos que: 5/9=k/21 então k= 5.21/9 = 5.7/3 = 35/3 cm

Embora triângulos com os mesmos ângulos sejam necessariamente semelhantes o mesmo não acontece com quadriláteros (por exemplo todos os retângulos têm ângulos iguais). Assim sendo a proporção entre AX e XY não é (necessariamente) a mesma que entre BY e YZ.

ii) Determine o valor de k. Justifique suas respostas.

Seja P o ponto de interseção da reta sobre AB com a reta sobre XY. Então os triângulos PAX, PBY e PCZ são semelhantes, pelo que são válidas as identidades:
\(\frac{\overline{AX}}{\overline{PX}}=\frac{\overline{BY}}{\overline{PY}}=\frac{\overline{CZ}}{\overline{PZ}} \Leftrightarrow \frac{5}{a}=\frac{k}{a+5}=\frac{20}{a+30}\) onde \(a=\overline{PX}\)

Da equação \(\frac{5}{a}=\frac{20}{a+30}\) tiramos \(a=10\) e da equação \(\frac{5}{a}=\frac{k}{a+5} \Leftrightarrow \frac{5}{10}=\frac{k}{15}\) tiramos \(k=\frac{15}{2}=7,5\).