Geometria Analítica - Equação do Plano

[bigtomy]

Qual é a equação do plano que passa pelos pontos A(0,1,2) e B(1,3,0) e seja paralelo ao eixo das abscissas?

[danjr5]

Uma vez que o plano é paralelo ao eixo \(x\), então passa pelo ponto \((0, y, z)\).

Fixando um dos três pontos, obtemos dois vetores a partir dos segmentos formados. Fixemos o ponto A, por exemplo, então: \(\vec{AB} = (1, 2, - 2)\) e \(\vec{AC} = (0, y - 1, z - 2)\).

Ora, calculando o produto vetorial entre tais vetores obteremos o vetor normal ao plano. Segue,

\(\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & - 2 \\ 0 & y - 3 & z \end{vmatrix}\)

\(\vec{AB} \wedge \vec{AC} = 2z\vec{i} + (y - 3)\vec{k} + 2(y - 3)\vec{i} - z\vec{j}\)

\(\vec{AB} \wedge \vec{AC} = (2z + 2y - 6) \cdot \vec{i} - z \cdot \vec{j} + (y - 3) \cdot \vec{k}\)

Lembrando que o plano é paralelo à \(Ox\), então temos que o coeficiente de x na equação do plano deverá ser nulo, ou seja, o coeficiente de \(i\) é NULO.

Por fim,

\(\\ 2z + 2y - {6} = {0} \;\; \div(2 \\\\ \fbox{\fbox{y + z - {3} = {0}}}\)