Parâmetros de uma função trigonométrica
16 mai 2015, 12:04
Boa tarde alguém me pode dar uma ajuda um pouco detalhada neste exercício, de forma a que eu possa generalizar e aplicar em futuros problemas? Envolve determinar parâmetros de função trigonométrica, com recurso às transformações... Mas não percebo o raciocínio... Obrigado desde já.
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Re: Parâmetros de uma função trigonométrica
16 mai 2015, 19:21
Boa tarde,
O gráfico da função h foi obtido por transformação do gráfico da função sin x .
\(\large -1\, \leq \, \sin \left ( Bx-C \right )\, \leq \, 1\, \Leftrightarrow \, -A\, \leq \, A\, \sin \left ( Bx-C \right )\, \leq \, A\, \Leftrightarrow -A+D\, \leq \, A\sin \left ( Bx-C \right )+D\, \leq \,A+D\)
Atendendo que D' h= [0,30] temos:
\(\large -A+D=0\; \; \wedge \; \; A+D=30\: \Leftrightarrow A=D\; \; \wedge \; \; 2\, D=30\: \Leftrightarrow A=15\; \; \wedge \; \; D=15\)
Pela observação do gráfico podemos concluir que o período da função é igual a 120
\(\large h\left ( x+p \right )=h\left ( p \right )\Leftrightarrow A\sin \left [ B\left ( x+p \right )-c \right ]+D=A\sin \left ( Bx-c \right )+D\Leftrightarrow \sin \left ( Bp+\left ( Bx-c \right ) \right )=\sin \left ( Bx-c \right )\Rightarrow Bp=2\, \Pi \; \;\; \therefore \: para\; \;B\, > \, 0 \; \; vem\; \; 2\, \Pi =120\, B\Leftrightarrow B=\frac{\Pi }{60}\)
Temos portanto \(\large h\left ( x \right )=15\, \sin \left ( \frac{\Pi }{6}\, x-C \right )+15\)
Atendendo a que h (0)=15 (ou h(60)=15 ou h(120)=15, visto que estes são os únicos valores explícitos no gráfico)
\(\large 15\, \sin \left ( -C \right )+15=15\Leftrightarrow \sin \left ( -C \right )=0\Leftrightarrow -\sin C=0\Leftrightarrow \sin C=0\Leftrightarrow \sin C=\sin \Pi\)
Um valor possível para C é ∏
Acabámos de definir um exemplo possível para h (x)
O gráfico da função h foi obtido por transformação do gráfico da função sin x .
\(\large -1\, \leq \, \sin \left ( Bx-C \right )\, \leq \, 1\, \Leftrightarrow \, -A\, \leq \, A\, \sin \left ( Bx-C \right )\, \leq \, A\, \Leftrightarrow -A+D\, \leq \, A\sin \left ( Bx-C \right )+D\, \leq \,A+D\)
Atendendo que D' h= [0,30] temos:
\(\large -A+D=0\; \; \wedge \; \; A+D=30\: \Leftrightarrow A=D\; \; \wedge \; \; 2\, D=30\: \Leftrightarrow A=15\; \; \wedge \; \; D=15\)
Pela observação do gráfico podemos concluir que o período da função é igual a 120
\(\large h\left ( x+p \right )=h\left ( p \right )\Leftrightarrow A\sin \left [ B\left ( x+p \right )-c \right ]+D=A\sin \left ( Bx-c \right )+D\Leftrightarrow \sin \left ( Bp+\left ( Bx-c \right ) \right )=\sin \left ( Bx-c \right )\Rightarrow Bp=2\, \Pi \; \;\; \therefore \: para\; \;B\, > \, 0 \; \; vem\; \; 2\, \Pi =120\, B\Leftrightarrow B=\frac{\Pi }{60}\)
Temos portanto \(\large h\left ( x \right )=15\, \sin \left ( \frac{\Pi }{6}\, x-C \right )+15\)
Atendendo a que h (0)=15 (ou h(60)=15 ou h(120)=15, visto que estes são os únicos valores explícitos no gráfico)
\(\large 15\, \sin \left ( -C \right )+15=15\Leftrightarrow \sin \left ( -C \right )=0\Leftrightarrow -\sin C=0\Leftrightarrow \sin C=0\Leftrightarrow \sin C=\sin \Pi\)
Um valor possível para C é ∏
Acabámos de definir um exemplo possível para h (x)