pergunta sobre volume de piramide

[leoaraujo]

A que altura da base devemos cortar uma piramide por um plano paralelo á base para obtermos dois sólidos do mesmo volume?

[Baltuilhe]

Boa noite!

Desenhe uma pirâmide com altura H e volume V. Corte esta pirâmide por um plano paralelo à base de forma a gerar uma nova pirâmide de altura h e volume v. Se o corte resultar em dois sólidos (uma pirâmide e um tronco de pirâmide) de volumes iguais isso significa que a pequena pirâmide tem metade do volume do sólido original, ou seja V=2v.
Utilizando o teorema de tales, temos que:
\(\left(\frac{h}{H}\right)^3=\frac{v}{V}\)
Substituindo-se o volume, teremos:
\(\left(\frac{h}{H}\right)^3=\frac{v}{2v}\\
\left(\frac{h}{H}\right)^3=\frac{1}{2}\\
\frac{h}{H}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\\
\frac{h}{H}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\\
\frac{h}{H}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\\
\frac{h}{H}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}\\
\frac{h}{H}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\\
h=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}\cdot H\\
h\approx 0,793701H\)

Espero ter ajudado!