Geometria Analítica Ache o Terceiro vertice de um triangulo equilátero

[Rafs_santos]

Se dois vértices de um triangulo equilátero são (-4,3) e (0,0) Ache o terceiro vértice

Exercicio 19 da Pagina 23 do livro Calculo com geometria analítica louis leithold.

Reposta. (-2+3/2√3, 3/2+2√3) e (-2-3/2√3, 3/2-2√3)

detalhes da resolução. Obrigado

[narcpereira]

Ola, tentei fazer por vetores, só que meu resultado não esta batendo.
Caso alguém consiga resolver, tb estou interessado em saber com soluciona.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Calculando a distância entre os dois vértices:
\(d=\sqrt{(-4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)

Então, o tamanho do lado deste triângulo equilátero vale 5.

O outro vértice (x,y) tem que possuir distância 5 para os dois vértices (-4,3), (0,0).
Montando as equações:
\(\{5^2=(x-0)^2+(y-0)^2\\
5^2=(x-(-4))^2+(y-3))^2\)

\(\{25=x^2+y^2\text{ (I)}
25=(x+4)^2+(y-3)^2\text{ (II)}\)

Desenvolvendo a (II):
\(25=(x+4)^2+(y-3)^2
25=x^2+8x+16+y^2-6y+9
25=x^2+y^2+8x-6y+16+9\text{ Veja que a (I) pode ser usada aqui}
0=8x-6y+25
8x-6y=-25
y=\frac{25+8x}{6}\)

Substituindo o valor de y na (I):
\(25=x^2+y^2
25=x^2+\left(\frac{25+8x}{6}\right)^2
25=x^2+\frac{625+400x+64x^2}{36}
25\times 36=36x^2+625+400x+64x^2
900=100x^2+400x+625
100x^2+400x-275=0
4x^2+16x-11=0
x=\frac{-16\pm\sqrt{432}}{8}
x=\frac{-16\pm 12\sqrt{3}}{8}
x=\frac{-4\pm 3\sqrt{3}}{2}\)

Com as duas soluções de x, encontramos duas soluções para y:
\(y=\frac{25+8x}{6}\)

Primeira:
\(x'=-2+\frac{3}{2}\sqrt{3}
y'=\frac{25+8\left(-2+\frac{3}{2}\sqrt{3}\right)}{6}
y'=\frac{25-16+12\sqrt{3}}{6}
y'=\frac{9+12\sqrt{3}}{6}
y'=\frac{3}{2}+2\sqrt{3}\)


Segunda:
\(x"=-2-\frac{3}{2}\sqrt{3}
y'=\frac{25+8\left(-2-\frac{3}{2}\sqrt{3}\right)}{6}
y'=\frac{25-16-12\sqrt{3}}{6}
y'=\frac{9-12\sqrt{3}}{6}
y'=\frac{3}{2}-2\sqrt{3}\)

Soluções, portanto:
\(\left(-2+\frac{3}{2}\sqrt{3},\;\frac{3}{2}+2\sqrt{3}\right)\\
\left(-2-\frac{3}{2}\sqrt{3},\;\frac{3}{2}-2\sqrt{3}\right)\)

Espero ter ajudado!

[Rafs_santos]

Muito Obrigado, ajudou muito!!