tetraedro regular e distancia entre arestas

[felipegserrano]

Um tetraedro regular é uma pirâmide em que todas as suas arestas são iguais a todas
as suas quatro faces são triângulos equiláteros. Sabendo-se que a aresta do tetraedro regular mede x, calcule a
distancia entre duas arestas reversas desse tetraedro.

[Baltuilhe]

Bom dia!

Desenhando-se um tetraedro vamos calcular a distância entre as arestas AB e CD (um tetraedro possui somente 4 vértices. Chamei de A o vértice superior e BCD os da base).
Tome um ponto M médio da aresta CD. Desenhe o triângulo AMB. Veja que AM=MB e a altura deste triângulo relativa à base AB é a distância entre as arestas reversas deste tetraedro.
Medidas do lado AM ou MB do triângulo = altura de um triângulo equilátero.
Portanto, chamando de l o lado de um triângulo equilátero sua altura valerá:
\(h=\frac{l\sqrt{3}}{2}\)

Como este é o valor do lado AM e MB do triângulo isósceles AMB, podemos calcular a altura relativa ao lado AB tomando um ponto N médio do lado AB e calculando via pitágoras o tamanho de MN.
\((\overline{MN})^2+(\overline{AN})^2=(\overline{AM})^2
(\overline{MN})^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2=\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2
(\overline{MN})^2=\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2
(\overline{MN})^2=\left(\frac{3l^2}{4}\right)-\left(\frac{l^2}{4}\right)
(\overline{MN})^2=\left(\frac{2l^2}{4}\right)
\overline{MN}=\left(\frac{l\sqrt{2}}{2}\right)\)

Espero ter ajudado!

[Maicon]

Pode postar a figura que vc descreveu com todos os seus pontos?

grato

[Baltuilhe]

Veja se ajuda!

Abraços!

Anexos