sen e cos ao quadrado, menor valor positivo

[Leo Andrade]

Sabendo que \(sen^2 x = \frac{cos^2x}2\), o menor valor positivo de x, será:

a)30°
b)60°
c)45°
d)120°
e)150°

[Rui Carpentier]

Tem a certeza que a equação está bem escrita? É que nenhuma das hipóteses é solução da equação (esta seria \(\mbox{arcsen}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\)).
Se fosse \(\mbox{sen}^2x=\cos^2x\) ou \(\mbox{sen}^2x=\frac{\cos^2x}{3}\) então já teríamos soluções compativeis com as opções.

[Leo Andrade]

Pior que está bem escrita, conforme o exercício, não consegui resolver

[Rui Carpentier]

A equação \(\mbox{sen}^2x=\frac{\cos^2x}{2}\) não é compativel com as soluções. Note que \(\mbox{sen}^2x=\frac{\cos^2x}{2}\Leftrightarrow \mbox{tg}^2x=\frac{1}{2}\), no entanto \(\mbox{tg}^2 30^o= \mbox{tg}^2 150^o=\frac{1}{3}\not=\frac{1}{2}\), \(\mbox{tg}^2 60^o = \mbox{tg}^2 120^o={3}\not=\frac{1}{2}\) e \(\mbox{tg}^245^o=1\not=\frac{1}{2}\).

Contudo esta equação é tipograficamente muito próxima da equação \(\mbox{sen}^2x=\frac{\cos 2x}{2}\). Esta já tem solução entre as opções dadas:

\(\mbox{sen}^2x=\frac{\cos 2x}{2}\Leftrightarrow \mbox{sen}^2x=\frac{\cos^2x-\mbox{sen}^2x}{2}\Leftrightarrow 3\mbox{sen}^2x=\cos^2x \Leftrightarrow \mbox{tg}^2x=\frac{1}{3}\) portanto a solução será \(x=\mbox{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=30^o\).