Número diagonais de um poliedro convexo

[felipegserrano]

Um poliedro convexo tem como faces 12 quadrados, 8 hexágonos regulares e 6 octágonos regulares. Em cada vértice do poliedro concorrem exatamente um quadrado, um hexágono e um octágono. Qual o número de diagonais desse poliedro?

[Baltuilhe]

Boa noite!

Quantidade de faces: \(F=12+8+6=26\)
Quantidade de arestas (2x): \(2A=12\times 4+8\times 6+6\times 8=48+48+48=144\)
\(A=72\)
Quantidade de vértices:
\(V+F=A+2
V+26=72+2
V=74-26=48\)

Verificando: Cada vértice do poliedro concorrem um quadrado, um hexágono e um octágono. Portanto, há 3 arestas POR vértice.
\(3V=2A
3(48)=2(72)
144=144\) OK!

Diagonais do poliedro.
Cada vértice pode se ligar a qualquer outro, menos consigo mesmo e com os 3 adjacentes (que formam uma aresta).
Então:
\(D=\frac{V(V-4)}{2}=\frac{48\times (48-4)}{2}=\frac{48\times 44}{2}=1056\text{ diagonais}\)

Espero ter ajudado (e acertado)