Num cone circular reto de altura 4...

[Helena V A]

Num cone circular reto de altura 4, inscreve-se uma esfera de raio 3/2. O volume do cone é:

RESP oficial: 12pi

[Baltuilhe]

Bom dia!

No triângulo \(\Delta ADE\) temos a hipotenusa 4-r=2,5, um cateto igual a r=1,5 e o outro cateto que iremos calcular, x:
\(2,5^2{=}1,5^2+x^2
6,25{=}2,25+x^2
x^2{=}6,25-2,25{=}4
x{=}2\)

Agora que temos este valor podemos calcular o valor de R, no triângulo \(\Delta ABC\).
\((x+R)^2=R^2+4^2
x^2+2xR+R^2=R^2+16
2^2+2R\cdot 2=16
4R=16-4
R=\frac{12}{4}=3\)

Agora é só calcular o volume:
\(V=\frac{\pi R^2 h}{3}
V=\frac{\pi\cdot 3^2\cdot 4}{3}
V=12\pi\)

Espero ter ajudado!

Editado pela última vez por Baltuilhe em 07 nov 2015, 15:39, num total de 1 vez.
Razão: Havia utilizado r=0,75 quando o raio era r=1,5. Corrigi e anexei nova imagem.

[jorgeluis]

Particularidades do cone de revolução (ou cone circular reto):
g=2r
h=r\(\sqrt{3}\)
g²=h²+r²

sendo h=4, então:
h=r\(\sqrt{3}\)
r=4\(\sqrt{3}\)/3

logo,
volume do cone (sem a esfera):
v=(\(\pi\).r².h)/3
v=64\(\pi\)/9

volume da esfera:
r=3/2
v=(4.\(\pi\).r³)/3
v=9\(\pi\)/2

volume do cone com a esfera:
v=(64\(\pi\)/9)+(9\(\pi\)/2)
v=11,61\(\pi\)
ou seja,
aproximadamente 12\(\pi\)

[Baltuilhe]

Bom dia, Jorge e Helena!

Cometi um equívoco na questão ao considerar diâmetro e não raio 3/2. Vou corrigir o posto novamente!

Daqui uns minutos, ok?

[Baltuilhe]

Particularidades do cone de revolução (ou cone circular reto):
g=2r
h=r\(\sqrt{3}\)
g²=h²+r²

sendo h=4, então:
h=r\(\sqrt{3}\)
r=4\(\sqrt{3}\)/3

logo,
volume do cone (sem a esfera):
v=(\(\pi\).r².h)/3
v=64\(\pi\)/9

volume da esfera:
r=3/2
v=(4.\(\pi\).r³)/3
v=9\(\pi\)/2

volume do cone com a esfera:
v=(64\(\pi\)/9)+(9\(\pi\)/2)
v=11,61\(\pi\)
ou seja,
aproximadamente 12\(\pi\)

Boa tarde, Jorge e Helena!

Agora sim, o exercício ficou correto!
Quando ao seu raciocínio, Jorge, você partiu do pressuposto que cone de revolução seria cone circular reto e que este teria a propriedade da geratriz ser o diâmetro da base. O equívoco é que esta propriedade é para o cone equilátero, que não foi citado pelo enunciado. Então, não poderíamos começar o exercício desta forma, mesmo que no final constatássemos essa propriedade, tudo bem?
Veja que pela resolução chegamos que o raio vale 3, ou seja diâmetro da base 6, diferente da geratriz que vale x+R=2+3=5, certo?

Espero ter ajudado, realmente!

[Helena V A]

Obrigada aos dois pelas respostas.

[Helena V A]

Obrigada aos dois pelas respostas. Mas só uma dúvida: se o R de DC é igual ao R de BC, então porque o X de AD também não vale o raio de 1,5 do ED? De resto, entendi direitinho.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

A propriedade na qual os segmentos CD e CB tenham os mesmos comprimentos é a seguinte:
Seja C um ponto externo a uma circunferência. Se por este ponto traçar duas tangentes à circunferência o comprimento deste ponto até os pontos de tangência são iguais.

Veja que o ponto D é um ponto de tangência do ponto externo X, mas o ponto (centro da circunferência) até o mesmo ponto D não goza desta propriedade,

Entendeu?

[Helena V A]

Ah, agora entendi. Não conhecia essa teoria. Muito obrigada pela explicação, Baltuilhe. Valeu mesmo!

[Baltuilhe]

Bom dia, Helena!

Há algum tempo respondi a outra colega aqui do Fórum sobre algo similar, que é uma generalização do que te expliquei. Como pode vir a ser útil, dê uma lida também neste outro tópico se puder!

http://www.forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=7750

Bom dia!