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Em relação à junção f(x) = 2+ 2cos(2x), são feitas as afirmações:

I - É crescente no intervalo [ ∏; 2∏ ]
II- Tem período ∏/2
III- Seu conjunto imagem é o intervalo fechado que vai de 0 a 4

Qual das afirmativas está correta?

Analisando a função dada:

f(x) = 2 + 2.cos(2x)
Afirmativa I:
É crescente no intervalo [ ∏; 2∏ ]
A função f(x)=cosx tem intervalo decrescente de [0;∏/2] e [∏;3∏/2], bem como intervalo crescente em [∏/2;∏] e [3∏/2;2∏)
Logo ou a sua afirmativa é falsa, pois no intervalo requisitado [∏;2∏] a função dada é crescente e decrescente.

Afirmativa II:
Tem período ∏/2

A parte da função dada que é diretamente relacionada ao período da função cosseno é cos(2x), analisando diretamente temos:
cos(x) tem período 2∏, ou seja, a cada intervalo de 2∏ a função tem o mesmo valor.
Aplicando uma regra de três simples para o arco têm-se:

\(x=2\pi\)
\(2x = \alpha\)

\(\alpha =\pi\)
Logo a afirmativa também é falsa, pois o período da função dada é \(\pi\) e não \(\pi/2\) como sugeria.

Afirmativa III:
A função cos(x) tem como intervalo de imagem [-1;1], analisando os dados na função que alteram a imagem temos:
1º) 2.cos(2x) - primeiramente, assim o intervalo de imagem da função será [-2;2], pois cada valor do intervalo da imagem original [1;-1] foi multiplicada pelo 2 que multiplica a função cos(2x).

2º) 2 + (...) - nesta passagem temos somado 2 à cada valor ao intervalo [-2;2], transformando o intervalo original para [0;4].

Temos então que a afirmativa III é correta, pois o intervalo da função dada é [0;4] (os colchetes indicam intervalo fechado).

Ao final, vemos que apenas a afirmativa III é a correta.

Espero ter ajudado