Olá
Como \(A\neq C\) então teremos que usar : \(tg(2\theta)=\frac{B}{A-C} \\\\ tg (2\theta)=0 \\\\ \theta=\frac{\pi}{2}\)
sabemos que : \(\\\\ x'=x*cos\theta +y*sen\theta \\\\ y'=-x*sen\theta+y*cos\theta\) , então ficaremos com:
\(x'=y \\\\ y'=-x\)
daí:
\(x^{2}+4y=-12 \\\\ x^{2}=-4y-12 \\\\ x^{2}=-4(y+3)\)
o vértice podemos notar que é \((0,-3)\), repare tbm que o foco e a reta diretriz distam 2 unidades do vértice e possuem mesma abcissa,então pela fórmula da distância:
\(2=\sqrt{(0-0)^{2}+(y+3)^{2}} \\\\ 2=|y+3|\)
obtemos \(y=-1\) e \(y=-5\) , como o foco está abaixo do vértice,então a reta diretriz é \(y=-1\) e foco é \((0,-5)\)
um esboço do wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... y%2B12%3D0
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