Problema com função co-seno

[afonsus]

Boa Tarde, preciso de ajuda neste problema de 11º ano.

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Obrigado



Se não for possível ver a imagem:


Considera a função f definida por \(f(x)=1+2cos(\frac{x}{2})\)

Determina o valor de \(cos(-\frac{3\pi }{2}-\theta )\), com \(\theta\in \sqsupset -\frac{3\pi}{2},2\pi\sqsubset\)
, sabendo que \(f(2\theta)=\frac{5}{2}\)


PS:aqui (\(\theta\in \sqsupset -\frac{3\pi}{2},2\pi\sqsubset\)) o conjunto é fechado, nao consegui por o simbolo correcto

[josesousa]

\(f(2 \theta) = 1+2 cos(\theta) = \frac{5}{2}\)
\(2 cos(\theta) = \frac{3}{2}\)
\(2 cos(\theta) = \frac{3}{2}\)
\(cos(\theta) = \frac{3}{4}\)


Agora note-se que
\(cos(\frac{3\pi}{2}-\theta)=\)
\(cos(-\frac{3\pi}{2}+\theta)=\)
\(cos(\frac{\pi}{2}+\theta)= sen(\theta)\)

Logo,
\(cos(\frac{3\pi}{2}-\theta)=sen(\theta) = -\sqrt{1^2-\(\frac{3}{4}\)^2}=\)
\(-\sqrt{\frac{5}{16}}=-\frac{\sqrt{5}}{4}\)

[ulisses123]

olá eu não entendí a última parte cos(3pi/2-teta)=sen(teta) e também porquê - raiz de 1^2-(3/4)^2 por favor me explica

[josesousa]

Por coseno ser função par,
\(cos(\frac{3\pi}{2}-\theta)=cos(\theta-\frac{3\pi}{2})=\)

\(cos(\theta-2\pi+\frac{\pi}{2})=cos(\theta+\frac{\pi}{2})\)
\(=sen(\theta)\)

se \(cos(\theta)=\frac{3}{4}\) e \(\theta \in \left]-\frac{3\pi}{2},\pi\right[\)
então \(sen(\theta) < 0\) e
então \(sen(\theta) = -\sqrt{1-cos^2(\theta)}\)

Desculpe o atraso na resposta!