trigonometria vestibular UEFS 2014.1

[scavenger]

Pessoal alguém pode me auxiliar em como resolver este tipo de questão?

\(\frac{sen15 . cos165}{sen^{2}20 + cos^{2} 70 }\)

[PedroCunha]

Olá, scavenger.

O seu enunciado precisa de uma correção. O certo é: \(\frac{\sin 15^{\circ} \cdot \cos 165^{\circ}}{\sin^220^{\circ} + \sin^270^{\circ}}\)

Note que \(\cos(180^{\circ}-\alpha) = -\cos \alpha\) e \(\sin(90^{\circ}-\alpha) = \cos \alpha\). Assim:

\(\begin{cases} \cos 165^{\circ} = -\cos15^{\circ} \\ \sin^2 70^{\circ} = \cos^2 20^{\circ} \\ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \end{cases}\)

Então, a expressão fica:

\(S = \frac{-\sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}}{1} \\\\ \begin{cases} \sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ}-30^{\circ}) = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt2}{4} \\\\ \cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqr6 + \sqrt2}{4} \end{cases} \\\\ S = -\frac{4}{16} \therefore S = -\frac{1}{4}\)

Att.,
Pedro