Razão entre áreas de um quadrilátero e semicircunferências traçados a partir de determinados pontos
14 Oct 2014, 12:30
Num projeto de uma praça, um arquiteto depara-se com o seguinte problema: Traça-se uma reta r, marcam-se os pontos T, V, U e Z, respectivamente. Em um dos semiplanos determinados por r, traçam-se as semicircunferências de diâmetros TV, UZ e TZ; no outro semiplano, traça-se a semicircunferência de diâmetro VU, ou seja, para concluir o projeto, ele precisa determinar a razão entre a área do quadrado cujos vértices são os pontos médios das semicircunferências e a área delimitada por essas semicircunferências. Qual a resposta?
Re: Razão entre áreas de um quadrilátero e semicircunferências traçados a partir de determinados pontos
14 Oct 2014, 13:51
Pensando que realmente aos pontos referidos formam um quadrado e imaginando um referencial centrado no ponto médio entre V e U, em que o eixo dos xx tem a direcção de r, as coordenadas do ponto médio da circunferência maior e do ponto médio da circunferência do lado direito são \((0,Z)\) e \((\frac{U+Z}{2},\frac{Z-U}{2})\), pelo que a distância entre estes (ou seja, o lado do quadrado) é dada por
\(\sqrt{\left(\frac{U+Z}{2}\right)^2 + \left(Z-\frac{Z-U}{2}\right)^2} =\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{(U+Z)^2} =\frac{\sqrt{2}}{2}(U+Z)\)
Concluímos pois que a área de tal quadrado seria \(\frac 12 (U+Z)^2\).
Relativamente à área delimitada pelas semi-circunferências, seria
\(\frac 12 \pi Z^2 + \frac 12 \pi U^2 - \pi \left(\frac{Z-U}{2}\right)^2=\pi (Z^2/2+U^2/2-Z^2/4 + ZU -U^2/4)=\frac{\pi}{4}(Z+U)^2\)
A razão entre as átreas é então \(2 / \pi\)
\(\sqrt{\left(\frac{U+Z}{2}\right)^2 + \left(Z-\frac{Z-U}{2}\right)^2} =\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{(U+Z)^2} =\frac{\sqrt{2}}{2}(U+Z)\)
Concluímos pois que a área de tal quadrado seria \(\frac 12 (U+Z)^2\).
Relativamente à área delimitada pelas semi-circunferências, seria
\(\frac 12 \pi Z^2 + \frac 12 \pi U^2 - \pi \left(\frac{Z-U}{2}\right)^2=\pi (Z^2/2+U^2/2-Z^2/4 + ZU -U^2/4)=\frac{\pi}{4}(Z+U)^2\)
A razão entre as átreas é então \(2 / \pi\)
- Anexos
-
- Untitled-1.png (12.85 KiB) Visualizado 3772 vezes
Re: Razão entre áreas de um quadrilátero e semicircunferências traçados a partir de determinados pontos
14 Oct 2014, 20:55
Fernando Magalhães Escreveu:Num projeto de uma praça, um arquiteto depara-se com o seguinte problema: Traça-se uma reta r, marcam-se os pontos T, V, U e Z, respectivamente. Em um dos semiplanos determinados por r, traçam-se as semicircunferências de diâmetros TV, UZ e TZ; no outro semiplano, traça-se a semicircunferência de diâmetro VU, ou seja, para concluir o projeto, ele precisa determinar a razão entre a área do quadrado cujos vértices são os pontos médios das semicircunferências e a área delimitada por essas semicircunferências. Qual a resposta?
Caro senhor, Peço desculpas pois escrevi a pergunta erradamente, onde se lê "quadrado" leia-se "quadrilátero". Mas o caminho para resolver já assimilei. Obrigado
P.S. questão tirada da prova do concurso do Colégio Militar de Pernambuco onde nas respostas para as opções os " PI "aparecem no numerador em todas as alternativas. (pode ser erro do Fornecedor da prova)
As alternativas para a questão são:
a) "pi" / 3
b) "pi" / 2
c) "pi" / 4
d) "pi" / 5
e) "pi" / 8
Atenciosamente
Re: Razão entre áreas de um quadrilátero e semicircunferências traçados a partir de determinados pontos [resolvida]
14 Oct 2014, 21:06
Boa noite caro Fernando,
Apenas me referi à questão do quadrado pois não provei que se trata de facto de um quadrado. Em relação às opções disponíveis, acho que mantenho a minha... Realmente, se pensar no caso limite em que T=V e U=Z, tendo portanto um quadrado incrito numa circunferência, a razão pedida seria
\(\frac{(\sqrt{2}Z)\cdot(\sqrt{2} Z)}{\pi Z^2} = \frac{2}{\pi} }\).
A resposta considerada correcta seria provavelmente \(\pi /2\), embora essa fosse a razão entre a área delimitada pelas semi-circunferências e a área do quadrado.
Apenas me referi à questão do quadrado pois não provei que se trata de facto de um quadrado. Em relação às opções disponíveis, acho que mantenho a minha... Realmente, se pensar no caso limite em que T=V e U=Z, tendo portanto um quadrado incrito numa circunferência, a razão pedida seria
\(\frac{(\sqrt{2}Z)\cdot(\sqrt{2} Z)}{\pi Z^2} = \frac{2}{\pi} }\).
A resposta considerada correcta seria provavelmente \(\pi /2\), embora essa fosse a razão entre a área delimitada pelas semi-circunferências e a área do quadrado.