ITA de 1986, sobre geometria analítica
27 mar 2015, 19:45
(ITA-86) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais considere o triângulo ABC, sobre o qual sabemos que:
a. o lado AC está sobre a reta y = x.
b. o vértice A tem coordenadas (1,1) e o ângulo A mede 60∘.
c. o vértice B está no eixo das ordenadas.
d. o lado BC é paralelo ao eixo das abscissas.
A área do triângulo ABC é:
A)9
B)9/2 + 3√3
C)√3/2
D)9/2 + 5√3/2
E)1/2 + 5 √3
Sei que a resposta é a alternativa D, mas não consigo fazer a conta para chegar nela. Me ajudem por favor?
a. o lado AC está sobre a reta y = x.
b. o vértice A tem coordenadas (1,1) e o ângulo A mede 60∘.
c. o vértice B está no eixo das ordenadas.
d. o lado BC é paralelo ao eixo das abscissas.
A área do triângulo ABC é:
A)9
B)9/2 + 3√3
C)√3/2
D)9/2 + 5√3/2
E)1/2 + 5 √3
Sei que a resposta é a alternativa D, mas não consigo fazer a conta para chegar nela. Me ajudem por favor?
Re: ITA de 1986, sobre geometria analítica [resolvida]
28 mar 2015, 01:47
Olá, vou esboçar as ideias e você faz as contas ... daí a gente vê se tá ok - se não concordar com alguma sugestão/afirmação a gente discute.
(sempre em mente os dados do enunciado)
Como \(B\) está no eixo das ordenadas então \(B=(0,0)\) ou \(B=(0,y)\). No primeiro caso, como a altura do triângulo seria 1 e a base um pouco mais do que 1 e área daria menor do que 1 então pelo gabarito que você passou nem compensa desenvolver. A priori deveríamos desenvolver mas o racicíono é análogo ao que segue.
Como \(BC\) é paralelo ao eixo \(y\) e pela simetria da reta \(y=x\), conclui-se que \(C=(x,y)=(y,y)\).
Desse forma temos um triângulo de base medindo \(y\) e altura igual a \(y - 1\) (tente esboçar esse triângulo para visualizar) cuja área é \(A=\frac{1}{2}(y-1)y\)
Se soubermos o \(y\), Inês é morta!
Para isso visualize o seguinte triângulo \(ABD\) onde \(D=(0,1)\). Não será difícil você concluir que nesse triângulo \(\angle B = 15^o\) cuja tangente vale \(2-\sqrt{3}\), que você pode calcular por meio da \(tg(45^o-30^o)\), e é igual a \(\frac{1}{y-1}\) e isso fecha o exercício.
(sempre em mente os dados do enunciado)
Como \(B\) está no eixo das ordenadas então \(B=(0,0)\) ou \(B=(0,y)\). No primeiro caso, como a altura do triângulo seria 1 e a base um pouco mais do que 1 e área daria menor do que 1 então pelo gabarito que você passou nem compensa desenvolver. A priori deveríamos desenvolver mas o racicíono é análogo ao que segue.
Como \(BC\) é paralelo ao eixo \(y\) e pela simetria da reta \(y=x\), conclui-se que \(C=(x,y)=(y,y)\).
Desse forma temos um triângulo de base medindo \(y\) e altura igual a \(y - 1\) (tente esboçar esse triângulo para visualizar) cuja área é \(A=\frac{1}{2}(y-1)y\)
Se soubermos o \(y\), Inês é morta!
Para isso visualize o seguinte triângulo \(ABD\) onde \(D=(0,1)\). Não será difícil você concluir que nesse triângulo \(\angle B = 15^o\) cuja tangente vale \(2-\sqrt{3}\), que você pode calcular por meio da \(tg(45^o-30^o)\), e é igual a \(\frac{1}{y-1}\) e isso fecha o exercício.
Re: ITA de 1986, sobre geometria analítica
28 mar 2015, 14:04
Segue uma figura esquemática: