Enquadrar função trigonométrica (sin x) - dúvida

[TelmaG]

Bom dia,

Considere a expressão \(\large f\left ( x \right )=a+b\, \sin ^{2}\, x\)
Sempre que se atribui um valor real a a e um valor real a b, obtemos uma função de domínio R

. o contradomínio de f é [-3, 1]
. \(0\; \; e \; \; \Pi\) são maximizantes
. \(-\frac{\Pi }{2}\; \; e\; \; \frac{\Pi }{2}\) são minimizantes

Determine a e b.
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\(f\left ( 0 \right )=1\; \; e\; \; f\left ( \frac{\Pi }{2} \right )=-3\)

\(\large f\left ( 0 \right )=a+b\, \sin ^{2}\, 0=a+b\times 0=a\; \; \therefore \: a=1\)

\(\large f\left ( \frac{\Pi }{2} \right )=1+b\, \sin ^{2}\, \frac{\Pi }{2}=1+b\) logo 1+b= -3 o que equivale a b= -4

Porque não posso enquadrar a função e a partir daí encontrar os valores pedidos?

\(\large -1\, \leq \, \sin x\, \leq\, 1\Leftrightarrow 0\, \leq \, \sin ^{2}\, x\, \leq 1\Leftrightarrow 0\, \leq \, b\, \sin ^{2}\, x\, \leq \, b\Leftrightarrow a\, \leq \, a+b\, \sin ^{2}\, x\, \leq\, a+b\: \Rightarrow a=-3\, \, \wedge \, \, a+b=1\Leftrightarrow a=-3\, \, \wedge \, \, b=4\)

Como se pode ver os valores não correspondem aos da solução.

[Rui Carpentier]

Conforme a figura sugere, tem-se:
. o contradomínio de f é [-3, 1]
. \(0\; \; e \; \; \Pi\) são maximizantes
. \(-\frac{\Pi }{2}\; \; e\; \; \frac{\Pi }{2}\) são minimizantes

Deve ter postado a imagem errada porque esta não corresponde ao afirmado (nem corresponde sequer ao gráfico de uma função do tipo \(a+b\sin ^{2} x\)).

Porque não posso enquadrar a função e a partir daí encontrar os valores pedidos?

\(\large -1\, \leq \, \sin x\, \leq\, 1\Leftrightarrow 0\, \leq \, \sin ^{2}\, x\, \leq 1\Leftrightarrow 0\, \leq \, b\, \sin ^{2}\, x\, \leq \, b\Leftrightarrow a\, \leq \, a+b\, \sin ^{2}\, x\, \leq\, a+b\: \Rightarrow a=-3\, \, \wedge \, \, a+b=1\Leftrightarrow a=-3\, \, \wedge \, \, b=4\)

Como se pode ver os valores não correspondem aos da solução.

Porque o valor de \(b\) pode ser (e é de facto) negativo, e nesse caso \(0\leq \sin ^{2}x \leq 1 \Leftrightarrow b \leq b\sin ^{2}x \leq 0\).