Perímetro de um octágono dado sua área

[farnili.fonseca]

Boa tarde!!! Estou tentando fazer esse exercício de uma faculdade de medicina: Sobre um quadrado de madeira, um carpinteiro fez quatro riscos a lápis e, com isso, formou 9 quadrados menores todos idênticos. Em seguida, cortou a madeira nas linhas tracejadas (diagonais dos quadrados) formando um octógono cuja área mede 14dm². O perímetro desse octógono é igual a?

OBS.: Eu tentei resolver usando a formula da área do octógono (já que temo 8 triângulos equiláteros) A= (8.l²√3/4) = 2.l²√3
Mas no final não bateu com o gabarito, que é: 8+4√2 dm.

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Os lados do octógono não são todos iguais entre si. Há duas medidas: uma igual ao lado do quadrado (de um dos nove quadrados) e a outra medida é a diagonal deste mesmo quadrado.
Então, como a área é de 14dm² podemos calcular as medidas desejadas. Tomando o lado do quadrado como l, teremos 5 quadrados de lados l e mais 4 triângulos com bases e alturas iguais a l:
\(A{=}14\text{ dm}^2\\
5l^2+4\frac{l^2}{2}{=}14\\
7l^2{=}14\\
l^2{=}2\\
l{=}\sqrt{2}\)

Agora que temos o lado, o perímetro sairá facilmente.
\(P=4l+4l\sqrt{2}\\
P=4\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{2}\\
P=4\sqrt{2}+8\\
P=4\left(2+\sqrt{2}\right)\text{ dm}\)

Espero ter ajudado!