Interseção de uma Esfera com uma reta
07 jul 2016, 14:24
Boas!
Tenho o seguinte problema:
\(E: (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=9\Leftrightarrow E:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=3^2\)
\(r:2x=3-y\wedge z=0\Leftrightarrow \frac{x-0}{2}=\frac{y-3}{-2}\wedge z=0\)
Assumindo que até aqui está tudo correto... temos:
esfera de centro em \(C(1,1,0)\) e raio 3 (compreendo que a fórmula dada indica uma superfície esférica, mas seguindo o enunciado, assume-se que foi um erro)
reta que passa no ponto \(P(0,3,0)\) e com a direção do vetor \(\vec{r}=(2,-2,0)\Leftrightarrow \vec{r}=(1,-1,0)\)
Problema:
Pelo esboço que fiz, é fácil verificar que o resultado final seria um segmento de reta de comprimento 6. Resposta B
(em anexo encontra-se o tal esboço. Imaginem que estão a olhar para um referencial o.n Oxyz, por cima de Oz)
A minha dúvida é o seguinte: Caso não existi-se escolha múltipla, e fosse pedido para resolver isto de forma analítica (sem calculadora/gráficos). Como é que o poderia fazer?
Tenho o seguinte problema:
\(E: (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=9\Leftrightarrow E:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-0)^2=3^2\)
\(r:2x=3-y\wedge z=0\Leftrightarrow \frac{x-0}{2}=\frac{y-3}{-2}\wedge z=0\)
Assumindo que até aqui está tudo correto... temos:
esfera de centro em \(C(1,1,0)\) e raio 3 (compreendo que a fórmula dada indica uma superfície esférica, mas seguindo o enunciado, assume-se que foi um erro)
reta que passa no ponto \(P(0,3,0)\) e com a direção do vetor \(\vec{r}=(2,-2,0)\Leftrightarrow \vec{r}=(1,-1,0)\)
Problema:
A interseção da Esfera E com a reta r é:
A) Um seg. reta de comprimento 3
B) Um seg. reta de comprimento 6
C) O conjunto vazio
D) Um ponto
Pelo esboço que fiz, é fácil verificar que o resultado final seria um segmento de reta de comprimento 6. Resposta B
(em anexo encontra-se o tal esboço. Imaginem que estão a olhar para um referencial o.n Oxyz, por cima de Oz)
A minha dúvida é o seguinte: Caso não existi-se escolha múltipla, e fosse pedido para resolver isto de forma analítica (sem calculadora/gráficos). Como é que o poderia fazer?
- Anexos
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Re: Interseção de uma Esfera com uma reta
07 jul 2016, 14:29
Agora pensando melhor... Tendo em conta que a esfera tem raio=3, supostamente, para que o segmento de reta fosse igual a 6, não teria que passar no centro?