Determinar a area da figura
19 jul 2016, 14:46
Determinar a area de um quadrado inscrito em um triangulo equilatero em funcao
Do raio R do circulo circunscrito a esse triangulo
Do raio R do circulo circunscrito a esse triangulo
Re: Determinar a area da figura
20 jul 2016, 18:42
Oi, incluo uma figura para ajudar a visualizar o método.
Sendo:
\(a, l\) o lado do triângulo equilátero e o lado do quadrado respectivamente.
\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, R=\frac{2h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), a altura do triângulo e o raio da circunferência circunscrita respectivamente.
Por semelhança temos: \(\frac{l}{\frac{a-l}{2}}=\frac{h}{\frac{a}{2}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow a\sqrt{3}=l(2+\sqrt{3})\)
Dividindo ambos os membros por \(3\) e subsituindo teremos: \(R = \frac{l(2+\sqrt{3})}{3}\).
Para obter a área do quadrado basta isolar \(l\) na última expressão e elevar ao quadrado.
- triang-equil.png (10.22 KiB) Visualizado 2655 vezes
Sendo:
\(a, l\) o lado do triângulo equilátero e o lado do quadrado respectivamente.
\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}, R=\frac{2h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), a altura do triângulo e o raio da circunferência circunscrita respectivamente.
Por semelhança temos: \(\frac{l}{\frac{a-l}{2}}=\frac{h}{\frac{a}{2}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow a\sqrt{3}=l(2+\sqrt{3})\)
Dividindo ambos os membros por \(3\) e subsituindo teremos: \(R = \frac{l(2+\sqrt{3})}{3}\).
Para obter a área do quadrado basta isolar \(l\) na última expressão e elevar ao quadrado.
Re: Determinar a area da figura
20 jul 2016, 20:14
Muito obrigado pela sua ajuda,mas eu nao entendi o modo da semelhanca
E o resultado aqui do livro é diferente
Solucao do livro 9(2-radix3)/3
E o resultado aqui do livro é diferente
Solucao do livro 9(2-radix3)/3
Re: Determinar a area da figura
20 jul 2016, 20:36
Oi, então vamos começar vendo o caso da resposta do livro e depois eu falo sobre a semelhança.
Na minha última participação, cheguei a \(R = \frac{l(2+\sqrt{3})}{3}\). e pedi para isolar o \(l\). Então façamos isso:
\(l = \frac{3R}{(2+\sqrt{3})} = 3R(2-\sqrt{3})\).
A área do quadrado é: \(l^2 = 9 R^2(2-sqrt(3))^2\). Talvez, possa haver alguma transformação que nos leve até a resposta do livro mas eu não a vejo agora. Ademais, cadê o \(R\) na resposta do livro?
Na minha última participação, cheguei a \(R = \frac{l(2+\sqrt{3})}{3}\). e pedi para isolar o \(l\). Então façamos isso:
\(l = \frac{3R}{(2+\sqrt{3})} = 3R(2-\sqrt{3})\).
A área do quadrado é: \(l^2 = 9 R^2(2-sqrt(3))^2\). Talvez, possa haver alguma transformação que nos leve até a resposta do livro mas eu não a vejo agora. Ademais, cadê o \(R\) na resposta do livro?
Re: Determinar a area da figura
20 jul 2016, 20:43
Agora, sobre a semelhança:
Na figura marquei os pontos \(D\) e \(E\).
Observe a semelhança dos triângulos \(\Delta ADE \sim \Delta AHC\), pois possuem os três ângulos iguais.
Dessa forma pude fazer: \(\frac{DE}{AD}=\frac{HC}{AH} \Leftrightarrow \frac{l}{\frac{a-l}{2}}=\frac{h}{\frac{a}{2}\)
- triang-equil.png (11.47 KiB) Visualizado 2647 vezes
Na figura marquei os pontos \(D\) e \(E\).
Observe a semelhança dos triângulos \(\Delta ADE \sim \Delta AHC\), pois possuem os três ângulos iguais.
Dessa forma pude fazer: \(\frac{DE}{AD}=\frac{HC}{AH} \Leftrightarrow \frac{l}{\frac{a-l}{2}}=\frac{h}{\frac{a}{2}\)
Re: Determinar a area da figura
20 jul 2016, 21:28
Estou fazendo assim HC/DE=AH/DA
Depois meu lado do triangulo vale radiz3r entao a altura do triangulo vale 3r/2 por semelhanca fica assim
(3r/2)/DE=Radiz3/((radiz3-l)/2)
DE=lado do quadrado
Meu DE=6r-3radix3r
Foi o maximo q eu consegui,
Desculpa ,na hora de colocar a resposta esquici do r^2
Obrigado pir estar me ajudando nesse exercicio q esta me deixa do lokoo
Depois meu lado do triangulo vale radiz3r entao a altura do triangulo vale 3r/2 por semelhanca fica assim
(3r/2)/DE=Radiz3/((radiz3-l)/2)
DE=lado do quadrado
Meu DE=6r-3radix3r
Foi o maximo q eu consegui,
Desculpa ,na hora de colocar a resposta esquici do r^2
Obrigado pir estar me ajudando nesse exercicio q esta me deixa do lokoo
Re: Determinar a area da figura
20 jul 2016, 23:14
OI, bem a minha resposta está correta.
Vamos tentar decifrar o que você está fazendo ...
Por que seu lado vale "radiz3r" ( isso é \(\sqrt{3R}\)? ). (editado) Penso que seja \(\sqrt{3}R\).
O ideal seria você colocar as suas expressões por meio de Latex, conseguirá isso usando o "Editor de equações" (link na parte de cima da janela de edição do tópico).
Vamos tentar decifrar o que você está fazendo ...
Elber Clidio Escreveu:Depois meu lado do triangulo vale radiz3r entao a altura do triangulo vale 3r/2 por semelhanca fica assim
Por que seu lado vale "radiz3r" ( isso é \(\sqrt{3R}\)? ). (editado) Penso que seja \(\sqrt{3}R\).
O ideal seria você colocar as suas expressões por meio de Latex, conseguirá isso usando o "Editor de equações" (link na parte de cima da janela de edição do tópico).
Re: Determinar a area da figura
21 jul 2016, 00:06
Agora q eu vi a minha tambem esta correta
Sim,mas é raiz quadrada de 3 vezes r
Isso eu obtive do lado do triangulo circunscrito a ele
Sim,mas é raiz quadrada de 3 vezes r
Isso eu obtive do lado do triangulo circunscrito a ele