Fórum de Matemática
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Let A,B,C be three points on a plane and O be the origin point on this plane.
Put \(\vec{a}\)=\(\vec{OA}\), \(\vec{b}\)=\(\vec{OB}\), and
\(\vec{c}\)=\(\vec{OC}\). P is a point inside the triangle ABC.

Suppose that ratio of the areas of \(\Delta\)PAB, \(\Delta\)PBC and \(\Delta\)PCA is 2:3:5


Express \(\vec{OP}\) in terms of \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\),

Seja \(\vec{p}=\vec{OP}\). Pelo facto de P ser um ponto interior do triângulo \(\Delta\)ABC, temos que \(\vec{p}=\lambda_1\vec{a}+\lambda_2\vec{b}+\lambda_3\vec{c}\) com \(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1\) e \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3>0\).
Também é sabido que a área de um dado triângulo XYZ pode ser dada por \(\frac{1}{2}||\vec{XY}\times \vec{XZ}||\). Assim sendo, as áreas de \(\Delta\)PAB, \(\Delta\)PBC e \(\Delta\)PCA são metade de \(||(\vec{b}-\vec{a})\times (\vec{p}-\vec{a})||\), \(||(\vec{c}-\vec{b})\times (\vec{p}-\vec{b})||\) e \(||(\vec{c}-\vec{a})\times (\vec{p}-\vec{a})||\) respetivamente.
Usando as propriedades do produto vetorial é fácil ver (exercício) que:
\(||(\vec{b}-\vec{a})\times (\vec{p}-\vec{a})|| = \lambda_3 ||(\vec{b}-\vec{a})\times (\vec{c}-\vec{a})||\),
\(||(\vec{c}-\vec{b})\times (\vec{p}-\vec{b})|| = \lambda_1 ||(\vec{c}-\vec{b})\times (\vec{a}-\vec{b})|| = \lambda_1 ||(\vec{c}-\vec{a})\times (\vec{a}-\vec{b})||= \lambda_1 ||(\vec{b}-\vec{a})\times (\vec{c}-\vec{a})||\), e
\(||(\vec{c}-\vec{a})\times (\vec{p}-\vec{a})|| = \lambda_2 ||(\vec{c}-\vec{a})\times (\vec{b}-\vec{a})|| = \lambda_2 ||(\vec{b}-\vec{a})\times (\vec{c}-\vec{a})||\).
Portanto as proporções das áreas são \(\lambda_3 : \lambda_1 : \lambda_2 = 2:3:5\). Daqui sai que \(\lambda_3=\frac{2}{2+3+5}=\frac{1}{5}\), \(\lambda_1=\frac{3}{10}\) e \(\lambda_2=\frac{1}{2}\).