Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sendo a+b=135°, sen a=√2/4 e 0<a<90°, determine sen b.

sen(a+b) = senacosb + senbcosa
Equação 1: sen(135) = √2/2 = √2/4*cosb + senbcosa

sen²a + cos²a = 1
cos²a = 1 - 1/8 = 7/8
cosa = √7/√8 = √7/(2√2)

Multiplicando a equação 1 por √2:

1 = (cosb)/2 + (senb)(√7/2)
2 = cosb + √7senb

Mas sabemos que sen²b + cos²b = 1, logo:

sen²b + (2-√7senb)² = 1
sen²b + 4 - 4√7senb + 7sen²b = 1
8sen²b - 4√7senb + 3 = 0

DELTA = 112 - 4*8*3 = 16

(4√7 +- 4)/16 = (√7 +- 1)/4

Sabemos que o senb é positivo, pois sena é positivo, já que está entre 0º e 90º. Assim:

senb = (√7+1)/4

se,
\(sen \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

então,
\(sen a=\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{sen\frac{\pi}{4}}{2}\)
\(sen a=sen\frac{\pi}{8}\)
\(a=\frac{\pi}{8}\)

\(b=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{8}
b=\frac{5\pi}{8}\)

logo,
\(sen b=sen (\pi - \frac{5\pi}{8})\)
\(sen b=sen \frac{3\pi}{8}\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Jorge,

\(\frac{1}{2}\times \sin\frac{\pi}{4} \neq \sin\frac{\pi}{8}\)

Pegue um exemplo conhecido pra verificar que isso é falso:

\(2\times\sin \frac{\pi }{4} = 2\times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)

Se o que você diz é verdadeiro, então essa resposta deveria ser 1, que é o \(\sin \frac{\pi }{2}\).

Você não pode passar o multiplicador para dentro da função trigonométrica.

Se sen a = raiz(2)/4, então cos a = raiz(14)/4
Mas, sen b = sen (135 - a) = sen 135 . cos a - sen a . cos 135
Logo, [raiz(2)/2].[raiz(14)/4] - [raiz(2)/4].[-raiz(2)/2]
raiz(28)/8 + 2/8 = 2[raiz(7) + 1)/8 = [raiz(7) + 1]/4

você tem razão meu amigo pi, gyanendra desconsidere a minha resolução!!!

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Agradeço a ajuda pessoal. Obrigado a todos!