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a) Para mostrar que o quadrilátero DEHI é um retângulo, vou mostrar que seus lados não consecutivos são paralelos e os lados não paralelos são perpendiculares.
Primeiro olhando para o triângulo maior, ABC, e tendo AB como base, temos que DE é uma base média (pois D é ponto médio de AC e E é ponto médio de BC) e portanto DE é paralelo a AB (I).
Agora olhando para o triângulo ABG, e tendo AB como base, temos que HI é uma base média (pois H é ponto médio de AG e I é ponto médio de BG) e portanto HI é paralelo a AB (II).
De (I) e (II), por transitividade, temos que DE é paralelo a HI, pois os dois são paralelos a AB (III).
Para os outros dois lados, primeiro observamos o triângulo CBG, tomando CG como base. Como D é ponto médio de BC e I é ponto médio de BG, temos que DI é base média de CBG e portanto paralelo a CG (IV).
E então olhamos para o triângulo CAG, tomando CG como base. Como E é ponto médio de AC e H é ponto médio de AG, temos que EH é base média de CAG e portanto paralelo a CG (V).
De (IV) e (V), e por transitividade, sabemos que EH é paralelo a DI, pois os dois são paralelos a CG (VI).
Como CG pertence à reta CF, que é perpendicular a AB, temos por (III) e (VI) que os lados DE e HI (paralelos entre si) são perpendiculares aos lados EH e DI (também paralelos entre si), e assim temos que DEHI é um retângulo.
b) Como HI é base média de ABG, temos que \(DE=HI=\frac{AB}{2}=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3\)
Como CF é altura do triângulo equilátero, temos \(CF=\frac{L\sqrt3}{2}=\frac{10\sqrt3\cdot \sqrt3}{2}=5\cdot 3=15\)
E pela relação do baricentro de um triângulo equilátero, temos que CG é o dobro de GF (que implica que CG é 2/3 da altura), isto é, \(CG=\frac{2}{3}\cdot CF=\frac{2}{3}\cdot 15=10\)
Agora, temos que EH é base média de CAG, e então \(DI=EH=\frac{CG}{2}=\frac{10}{2}=5\)
Portanto, a área do retângulo DEHI é dada por \(EH\cdot HI=5\cdot 5\sqrt3=25\sqrt3\)
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