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Determine os vetores unitários \(\underset{u}{\rightarrow}=(a,b,c)\) com \(a>0, b>0 e c>0\), que formam um ângulo de \(\frac{\pi }{6}\) rad com o vetor \(\underset{v}{\rightarrow}=(1,1,1)\) e um ângulo de \(\frac{\pi }{4}\) rad com o vetor \(\underset{w}{\rightarrow}=(1,0,1)\).

Eu fiz o que está em anexo e não sei continuar. O resultado é
\(\underset{u}{\rightarrow}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2})\) e
\(\underset{u}{\rightarrow}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{2})\).

Podem ajudar-me? Obrigado

\(\vec{u} \cdot (1,1,1) = ||\vec{u}|| \cdot ||(1,1,1)|| \cos \pi/6 \Leftrightarrow a+b+c = \frac 32\)

\(\vec{u} \cdot (1,0,1) = ||\vec{u}|| \cdot ||(1,0,1)|| \cos \pi/4 \Leftrightarrow b+c = 1\)

Ficamos então com

\(a = \frac 12\quad , \quad b+c = 1\)

Como além disso \(a^2+b^2+c^2 = 1\), sabemos que \(b^2+c^2 = \frac 34\), o que em conjunção com a condição \(c=1-b\) nos conduz a

\(b = \frac 14(2 \pm \sqrt{2})\) e portanto a

\(c = \frac 14 (2 \mp \sqrt{2})\)

Finalmente , podemos ter

\(\vec{u}= ( \frac 12, \frac 14 (2+ \sqrt{2}), \frac 14 (2-\sqrt{2}))\)

ou

\(\vec{u}= ( \frac 12, \frac 14 (2- \sqrt{2}), \frac 14 (2+\sqrt{2}))\)