Estranha interpretação

[Mauro]

Amigos,

sabe-se, e de há muito, que, para se calcular o volume de um cilindro de base circular, basta multiplicar a área da base pela altura do cilindro.

\(V = \pi r^2 h\) (1)

Se entendi direito, é a repetição de uma área de um círculo 'h' vezes. Seria como se empilhássemos pizzas ou pães árabes 'h' vezes.
E é isto que a natureza mostra. Uma forma que se projeta na terceira dimensão.

Mas aí me causa uma estranheza: círculos são figuras de duas dimensões apenas; não há altura, o que equivale dizer que a altura de um círculo é zero.

Então, na fórmula (1), não podem ser empilhados, pois 'h' estaria multiplicando zero.

A não ser que entendamos que o volume calculado não é um empilhamento, mas apenas uma coleção de círculos de área idêntica que se espalham numa área plana, sem espessura.

O volume do cilindro 'V' deveria ser entendido como 'figura que deve ser entendida como tendo equivalência a 'h' áreas'.

Como conciliar a visão que temos concretamente da natureza tridimensional e com o cálculo do volume do cilindro?

Abraços
Mauro

[João Torgal]

Mauro, um volume é uma relação de espaço que envolve três dimensões, algo que não sucede evidentemente no círculo (daí ter volume 0, pois a altura é nula).

Assim, como a duas dimensões temos o círculo, cuja área é \(\pi r^{2}\), que se repete ao longo do cilindro, com uma altura h, tem toda a lógica que o Volume seja o produto dessas duas medidas.

[Mauro]

Mauro, um volume é uma relação de espaço que envolve três dimensões, algo que não sucede evidentemente no círculo (daí ter volume 0, pois a altura é nula).

Assim, como a duas dimensões temos o círculo, cuja área é \(\pi r^{2}\), que se repete ao longo do cilindro, com uma altura h, tem toda a lógica que o Volume seja o produto dessas duas medidas.

Caro João Torgal, minha intuição (apenas intuição) diz que é muito esquisito, como foi dito, criar mentalmente algo que não tem apoio na lógica, que é a de uma espessura zero tornar-se dimensional.
Ainda fico a pensar que, mesmo que considerássemos o resultado final das infinitas (?) sucessões das pizzas por integração de espessuras infinitesimais para se chegar à altura do cilindro, mesmo assim o infinitésimo não é zero.

A minha cisma é com a Natureza: como pode haver três dimensões? - seria a pergunta absurda, já que existe mesmo e vivemos nela.
Ou o conceito de cilindro é que tem alguma coisa secreta.

Enfim, estamos no ramo da filosofia, talvez muito torta de minha parte.

Eu gostaria de concordar com você, Caro João, mas não vejo como. Gratíssimo, de qualquer forma.
Abração
Mauro

[Sobolev]

Mauro,

O que lhe está a faltar é apenas algum entendimento das bases do cálculo infinitesimal... Mas vou lhe dar uma outra imagem que pode ser mais fácil de entender do que aquela que expôs. Imagine que coloca o seu círculo num plano "quadriculado" e que aproxima a área do seu círculo pela área dos rectângulos que nele ficarem contidos. Naturalmente que não vai obter o valor exacto da área mas, se for tornando a quadrícula cada vez mais "refinada", é de aceitar que vai obtendo aproximações tão boas quanto desejar. Se quiser agora aproveitar a mesma quadrícula para calcular o volume, estará aproximando o volume de um cilindro pela soma de volumes de paralelipípedos de altura h... O volume de cada paralelipípedo é o produto da sua altura pela área da base, pelo que o volume total é obtido multiplicando h pela soma das áreas das bases dos paralelipípedos. Ora, como a soma das áreas das bases tende para a área do círculo, tem o resultado pretendido.

Em qualquer dos caso, a chave lógica da questão é distinguir entre o que é um infinitésimo e uma quantidade efectivamente nula.

Espero ter ajudado...

[Mauro]

Mestre Sobolev,

se o convencimento não acontece, não é porque a explicação não é boa e nem por má-vontade do perguntador: é mais falta de latitude intelecutal de quem pergunta.
De qualquer forma, agradeço muito o interesse em me ajudar.

Abração
Mauro