Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

É a imagem anexa
vlw, abraços

Comece por estabelecer algumas fórmulas. Resolver qualquer problema, matemático (ou da vida), exige sabermos por onde começar.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, logo

\(x+100+ \angle PBA=180\)
\(y+60+ \angle PCB=180\)
\(w+120+ \angle{PCD}=180\)

a soma dos ângulos internos de um pentágono é 540 graus, logo

\(x+y+w+100+ \angle PBA +60 + \angle PCB +\angle PCD + 120 =540\)

repare que estamos perante um sistema linear de equações, com seis incógnitas, logo precisa, em princípio, de seis equações linearmente independentes
Já lhe dei 4, apenas precisa de apenas mais duas.
Pense agora nos polígonos com quatro lados, ou seja o polígono de quatro lados formado pelos vértices PBCD e...

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Bom dia João,

Sem fazer contas, acho que essa abordagem não deve funcionar. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo decorre directamente de o dividir em triangulos, por isso julgo que todas as equações a partir da terceira sejam redundantes. Suponho que falte tirar partido de os vértices estarem sobre uma circunferência.

observe a figura:

1. das relações nos triãngulos temos:

a + x = 80
b + y = 120
c + w = 60

2. das relações nos arcos temos:

100 = 60 + y
y = 40

120 = b + y
b = 80

se, c \(\subset 60\subset 100\)

e o arco de 100 é 2x100, teremos

100 + 60 + c = 200
c = 40

da mesma forma se, a \(\subset b\subset 120\)

e o arco de 120 é 2x120, teremos

120 + b + a = 240 ( b = 80 )
a = 40

assim, temos:

x = 40
y = 40
w = 20

tirando a prova:
si = (n-2).180 ( pentagono: n = 5 )
si = 540

x + y + w + a + b + c + 100 + 60 + 120 = 540

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

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Muito obrigado pela informação caro Sobolev. Também pensei nisso, mas pela fórmula do ângulo inscrito, que é a que me lembro de repente, teríamos de ter acesso ao centro do círculo. Mas vou analisar o problema com mais detalhe.


Muito obrigado pela sua contribuição caro Jorge. Pode recordar-me apenas como faz esta passagem? Muito obrigado
É uma dedução da lei dos senos?

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João Pimentel Ferreira
 
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João,
você precisa olhar a figura,
assim verá a relação nos arcos.
Verá que o arco do angulo 100 é igual ao arco do angulo 60 + o arco do angulo y.

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Claro, tão evidente
Não sei porquê, mas estava embrenhado na análise dos ângulos, mas tal como muito bem também referiu o Sobolev, devemos tomar partido pelo facto de o polígono estar inscrito numa circunferência.

Muito obrigados, e seja sempre bem-vindo!

PS: Tente usar LaTex nas resoluções

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João Pimentel Ferreira
 
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Boa tarde!

Ainda não consegui me convencer dos ângulos x e w do desenho. O ângulo y dar 2(100-60)=80 é bem simples. Mas os outros ângulos ainda estou 'apanhando'
Se puderem me dizer qual a propriedade utilizada para encontrá-los, agradeço.

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Baltuilhe,

Cada angulo inscrito x projeta um arco 2x, observe a relação nos arcos, pois, há arcos maiores que contém arcos menores, daí você, com certeza, vai conseguir ver que o arco projetado pelo angulo x está contido no arco projetado pelos angulos b e 120, e que o arco projetado pelo angulo w está contido no arco projetado pelos angulos 60 e 100.

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