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Uma escada de 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a uma taxa constante de 0,5m/s com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 3m do solo?

Se designar por \(x(t)\) e \(y(t)\) a distância das extremidades da escada à parede e ao solo, respectivamente, então teremos (teo. Pitágoras) que

\(y(t)= \sqrt{25-x(t)^2}\)

Assim, derivando,

\(y'(t)=\frac{-2 x'(t)x(t)}{2 \sqrt{25-x(t)^2}} = \frac{-2 \times 0.5 \times \sqrt{25-y(t)^2}}{2 y(t)}\)

Ora, se \(y(t)=3\) temos que a derivada nesse instante (velocidade) é dada por

\(\frac{-2\times 0.5 \times 4}{2 \times 3} m/s = -\frac 23 m/s \approx - 0.66667 m/s\)

1) considerando o deslocamento horizontal da escada até a altura 0m (d1).

d1 = 5m (tamanho da escada)


2) deslocamento horizontal da escada até a altura de 3m (d2):

5² = 3² + d²
d2 = 4m


v=d/t, ou seja, velocidade é diretamento proporcional ao deslocamento, logo:

v1 / v2 = d1 / d2
0,5 / v2 = 5 / 4

v2 = 0,4m/s

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A Verdade está a caminho.

BOa tarde Jorge,

O seu raciocínio não é aplicável uma vez que o deslocamento hOrizontal não é proporcional ao deslocamento vertical. Eles estão relacionados de modo não linear através do teorema de Pitágoras.

Sobolev,

Quando ocorre o deslocamento vertical x ocorre também um deslocamento horizontal y ao mesmo tempo t. Acredito que o meu erro esteja apenas na inversão dos deslocamentos, pois, eu coloquei que d1>d2.

corrigindo fica:

d1=4m
d2=5m

v1=0,5m/s
v2=0,625m/s

de qualquer forma agradeço sua observação.
Um abraço meu amigo.

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Jorge,

Se o ponto de contacto horizontal se desloca a uma velocidade constante de 0.5 m/s, a sua distancia à parede é dada por \(x(t)=0.5 t\). Estou portanto a assumir que em t=0 a escada está na vertical e em t=10 estará na horizontal. A altura do ponto de contacto com a parede, usando o teorema de Pitágoras, é dada por \(y(t)=\sqrt{25 -x(t)^2} = \frac 12 \sqrt{100-t^2}\). A velocidade do ponto de contacto com a parede é por isso dada por \(y'(t) = -\frac{t}{2\sqrt{100-t^2}\). Finalmente, é fácil verificar que o ponto está à altura de 3 m quando t=8, pelo que conclui que a velocidade é (em valor absoluto) de \(\frac 23 m/s\). Este é o resultado exacto, qualquer um dos valores que apresentou antes não estão correctos.

Abraço e bons cálculos!

Sobolov,

a questão diz que a velocidade segue uma taxa constante de 0,5m/s, isso significa que ela aumenta/diminui na razão geometrica q=2 (...; 0,0625; 0,125; 0,25; 0,5; 1; 2; ...). isso significa que o resultado, obrigatoriamente, tem que ser um multiplo de 0,5.

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O que diz na questão é que o deslocamento (horizontal) se dá a uma taxa constante... Daí a velocidade (horizontal) ser constante e igual a 0.5 m/s.

Sobolev,
acredito que a questão esteja relacionada a velocidade horizontal.
Uma vez dada a velocidade inicial no solo 0,5m/s, subentende-se a pergunta sobre a velocidade final depois do deslocamento.

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Jorge,

A velocidade horizontal é constante, tal é afirmado no enunciado. Já a velocidade vertical não vai ser constante, para cada posição da escada vamos ter um valor diferente para a velocidade vertical (do ponto de contacto com a parede). Na figura que anexo tem

* A azul a posição da base da escada ao longo do tempo. É linear, a sua taxa de variação é constante e igual a 0.5 (velocidade)
* A amarelo tem a posição vertical (medida na parede) do topo da escada.
* A verde tem \(\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}\), que é constante porque corresponde ao comprimento constante da escada.

A pergunta incide sobre a velocidade vertical do extremo da escada encostado à parede quando a escada está a uma altura de 3m. Esta pergunta faz sentido pois a velocidade vertical não é constante, tendo um valor diferente para cada instante de tempo e, consequentemente, para cada altura vertical da escada. Se por exemplo perguntassem qual a velocidade vertical quando a escada está a uma altura de 4m a resposta seria -0.375 m/s, ou se perguntassem a velocidade quando a escada está a uma altura de 1m já a resposta seria -2.44949 m/s.

Na segunda figura pode ver a velocidade horizontal da escada até ao instante t=8 (azul), assim como a velocidade vertical até ao mesmo instante (amarelo).