Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Desafio na imagem abaixo

tamanho da corda = \(r_2\)

area do do circulo verde: \(S_1=\pi.r_1^2\)

area do circulo amarelo: \(S_2=\pi.r_2^2\)

\(S_1=2.S_2\)
\(\pi.r_1^2=2.\pi.r_2^2\)
\(r_2^2=\frac{r_1^2}{2}\)
\(r_2=\frac{r_1\sqrt{2}}{2}\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Boa tarde!

Bati forte nesta questão e cheguei em uma resposta, mesmo que de forma complicada! Se tiver algum outro colega que tenha uma solução mais fácil, por favor, compartilhe!
Segundo meu desenho:

\(A_1=\frac{L^2}{2}\left(\alpha-\sin{\alpha}\right)
A_2=\frac{R^2}{2}\left(\theta-\sin{\theta}\right)
A=A_1+A_2=\frac{\pi{R^2}}{3}\text{ um terco da area da circunferencia de raio R}\)

Algumas relações podem sair do desenho.
\(\frac{\theta}{2}+\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=\pi
\alpha=\pi-\frac{\theta}{2}\)

Outra relação (lei dos senos):
\(\frac{R}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{L}{\sin{\frac{\theta}{2}}}
L=R\frac{\sin{\frac{\theta}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}
L=R\frac{2\sin{\frac{\theta}{4}}\cos{\frac{\theta}{4}}}{\sin{\frac{\pi-\frac{\theta}{2}}{2}}}
L=R\frac{2\sin{\frac{\theta}{4}}\cos{\frac{\theta}{4}}}{\sin{\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{4}}}
L=R\frac{2\sin{\frac{\theta}{4}}\cos{\frac{\theta}{4}}}{\cos{\frac{\theta}{4}}}
L=2R\sin{\frac{\theta}{4}}\)

Voltando agora para a equação inicial os valores de L e de alpha encontrados, teremos:
\(A=\frac{R^2}{2}\left(\theta-\sin{\theta}\right)+\frac{L^2}{2}\left(\alpha-\sin{\alpha}\right)=\frac{\pi{R^2}}{3}
\frac{R^2}{2}\left(\theta-\sin{\theta}\right)+\frac{\left(2R\sin{\frac{\theta}{4}}\right)^2}{2}\left(\pi-\frac{\theta}{2}-\sin{\pi-\frac{\theta}{2}}\right)=\frac{\pi{R^2}}{3}
\frac{\theta}{2}-\frac{\sin{\theta}}{2}+2\sin^2\left(\frac{\theta}{4}\right)\left(\pi-\frac{\theta}{2}-\sin{\frac{\theta}{2}}\right)=\frac{\pi}{3}\)

Para resolver esta equação utilizei-me de Métodos Numéricos (em particular, o método das secantes:
\(f(\theta)=\frac{\theta}{2}-\frac{\sin{\theta}}{2}+2\sin^2\left(\frac{\theta}{4}\right)\left(\pi-\frac{\theta}{2}-\sin{\frac{\theta}{2}}\right)-\frac{\pi}{3}\)

Iremos procurar o valor de Theta que torne a função nula (ou seja, procurar uma raiz).
Nossa iteração seguirá o seguinte:
\(\theta_{2}=\frac{\theta_0f(\theta_1)-\theta_1f(\theta_0)}{f(\theta_1)-f(\theta_0)}\)

Uma tabela para visualizar mais fácil o resultado (vou usar 6 casas decimais):
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\hline
\theta_0 & \theta_1 & f(\theta_0) & f(\theta_1) & \theta_2=\frac{\theta_0f(\theta_1)-\theta_1f(\theta_0)}{f(\theta_1)-f(\theta_0)} & f(\theta_2)\\
\hline
1,000000 & 2,000000 & -0,703246 & 0,095817 & 1,880089 & -0,011557\\
2,000000 & 1,880089 & 0,095817 & -0,011557 & 1,892995 & -0,000073\\
1,880089 & 1,892995 & -0,011557 & -0,000073 & 1,893078 & 0,000000\\
1,892995 & 1,893078 & -0,000073 & 0,000000 & 1,893078 & 0,000000\\
1,893078 & 1,893078 & 0,000000 & 0,000000 & 1,893078 & 0,000000\\\hline
\end{array}\)

Veja que chegamos a um valor de Theta:
\(\theta=1,893078=108,465370^{\circ}=108^{\circ}27'55''\)

E, com este valor de Theta temos o seguinte valor para o L (comprimento da corda) para um raio unitário:
\(L=2\sin{\frac{1,893078}{4}}=0,911598\)

Espero ter ajudado! (UFA!!!)

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles