Como gostava de formas geométricas

[Baltuilhe]

Um arquiteto foi contratado para criar o símbolo de uma nova empresa. Pensou em um símbolo que seria criado a partir de um hexágono regular. Em cada lado do hexágono, foi recortado um triângulo equilátero, conforme as linhas tracejadas na figura a seguir.
Sabendo-se que o perímetro do hexágono regular é 24√3 m e o lado de triângulo equilátero é metade do lado do hexágono regular, então, a área da figura geométrica que representa o símbolo da empresa é igual a:

figura:

Problema Hexágono.jpg (31.6 KiB) Visualizado 1107 vezes

a) 36√3
b) 69√3
c) 46√3
d) 72√3
e) 54√3

Gabarito: e)

Editado pela última vez por Baltuilhe em 29 dez 2015, 02:46, num total de 1 vez.
Razão: Retirar URL

[Baltuilhe]

Boa noite!

Dado perímetro do Hexágono podemos calcular o comprimento de seu lado:
\(l_6=\frac{24\sqrt{3}}{6}=4\sqrt{3}\)

O lado de cada triângulo equilátero é metade do lado do hexágono, portanto:
\(l_3=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

Agora que temos os lados de ambas as figuras podemos calcular a área:
\(A=\frac{6l_6^2\sqrt{3}}{4}-6\frac{l_3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6\sqrt{3}}{4}(l_6^2-l_3^2)
A=\frac{6\sqrt{3}}{4}\left[\left(4\sqrt{3}\right)^2-\left(2\sqrt{3}\right)^2\right]
A=\frac{6\sqrt{3}}{4}\left(48-12\right)
A=\frac{6\sqrt{3}}{4}(36)=54\sqrt{3}\)

Espero ter ajudado!

[leticia.gabriela]

Muito Obrigada!