Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Considere o quarto de um círculo de raio 1 e os triângulos ABE e ACD apresentados na figura a seguir. Utilizando fórmulas de área padrão para concluir que:
(1/2)*senx*cosx<x/2<(1/2)*senx/cosx

Olá,

Usei a sua figura para implementar um triângulo auxiliar ADB':


Pode-se ver que a área de AEB é menor do que a área de ADB' pois os dois triângulos têm a mesma altura mas a base do segundo é maior. Assim:
\(\frac{1}{2} \cdot AE \times EB = \frac{1}{2} \cdot cos(x) \cdot sen(x) < \frac{1}{2} AD \cdot DB' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot sen(x) .\)

Também pode-se ver que a área de ADB' é menor do que a área de ADC pois os dois triângulos têm a mesma base mas a altura do segundo é maior. Assim:
\(\frac{1}{2} \cdot AD \times DB' = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot sen(x) < \frac{1}{2} AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot tg(x) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{sen(x)}{cos(x)}.\)


Dessa forma eu mostrei que \(\frac{cos(x) \cdot sen(x)}{2} < \frac{sen(x)}{2} < \frac{sen(x)}{2cos(x)}\).

Eu não consegui mostrar o seu termo do meio (\(\frac{x}{2}\)). Para isso, usando a minha abordagem, só chegaria em \(\frac{sen(x)}{2}= \frac{x}{2}\) para valores de \(x\) muito próximos de 0.

_________________
Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}