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O que é um triângulo retângulo "em A"?

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
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adotando o triângulo retângulo com os seguintes lados:

a=5
b=3
c=4

\((a-b)^2=c^2-4.a.b.sen^2\frac{c}{2}\)
\((5-3)^2=4^2-4.5.3.sen^2\frac{4}{2}\)
\(4=16-60.sen^2\frac{4}{2}\)
\(sen^2 2=\frac{12}{60}\)
\(sen^2 2=\frac{1}{5}\)

\(sen^2\alpha + cos^2\alpha=1\)
assumindo:
\(\alpha=2\)
temos:
\(cos^2\alpha=1-\frac{1}{5}
cos^2\alpha=\frac{4}{5}
cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

neste triângulo retângulo os ângulos são complementares e iguais a \(sen \alpha=\frac{3}{5}\) e \(cos \alpha=\frac{4}{5}\)
por isso, podemos dizer que a relação não satisfaz a todos os triângulos retângulos,

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

O exemplo fornecido polo Jorgeluis não é aplicável neste caso porque o significado de \(\tilde C\) na fórmula é a medida do ângulo oposto ao lado de comprimento c.

Partindo de \(a^2 = b^2+c^2\) facilmente chega a \((a-b)^2 = c^2 + 2b^2-2ab\). Assim, o que temos que demonstrar é que

\(-4ab \sin^2 (\frac{\tilde c}{2}) = 2b^2 -2ab \Leftrightarrow
-2a \sin^2 (\frac{\tilde c}{2}) = b-a \Leftrightarrow
-2a \frac{1- \cos \tilde c}{2} = b-a \Leftrightarrow
\cos \tilde c = \frac{b}{a}\)

Como a última igualdade é válida (diz que o cosseno é o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa), fica demonstrado o resultado pretendido.