Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Consideramos um triângulo retângulo ABC, onde a medida de um ângulo agudo é alfa. Determine a medida do raio da circunferência inscrita em função de alfa e da hipotenusa a

x, y - catetos, seja \(\alpha=\overbrace{a,x}\)

\(x=a\ cos\alpha\)

\(r=\frac{2S_\Delta}{a+x+y}\)

\(S_\Delta=\frac{1}{2}ax\ sin\alpha=\frac{1}{2}a^2\ sin\alpha\ cos\alpha\)

\(a+x+y=a+a\ sin\alpha+a\ cos\alpha=a(1+sin\alpha+cos\alpha)\)

\(r=\frac{a\ sin\alpha\ cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}\)

tem como fazer o desenho, pois nao consigo enxergar o resultado

Resultado:
\(r(\alpha, a)=\frac{a\ sin\alpha\ cos\alpha}{1+sin\alpha+cos\alpha}\)

Seja o triângulo ABC com ângulo alfa o ângulo ABC e A o ângulo reto.
Assim, sen (alfa) = AC/a e AC = a.sen(alfa)
da mesma forma, cos (alfa) = AB/a e AB = a.cos(alfa)
O raio da circunferência é um pedaço dos catetos. Como as tangentes partindo de um mesmo ponto são iguais, então temos:
[a.sen(alfa) - r] + [a.cos(alfa) - r] = a
daí, r = a.[sen(alfa) + cos(alfa) - 1]/2