Fórum de Matemática
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Alguem pode ajudar por favor?

Boa noite!

Pode usar algumas relações do triângulo retângulo (que nada mais são do que relações que surgiram da semelhança de triângulos.
Uma delas: "Um cateto é média geométrica entre sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa"
Então:
\(8^2=x(x+12)
x^2+12x-64=0
\Delta=(12)^2-4(1)(-64)
\Delta=144+256=400
x=\frac{-(12)\pm\sqrt{400}}{2(1)}
x=\frac{-12\pm{20}}{2}
x'=\frac{-12+20}{2}=4
x''=\frac{-12-20}{2}=-16\)

A única raiz possível será 4.

Já o valor de y pode ser obtida por pitágoras:
\(8^2{=}x^2+y^2
64{=}4^2+y^2
64{=}16+y^2
y^2{=}48
y{=}4\sqrt{3}\)

Outra forma seria:"A altura é média geométrica entre os segmentos que determina sobre a hipotenusa."
\(y^2{=}12x
y^2{=}12\cdot{4}
y^2{=}48
y{=}4\sqrt{3}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Realmente quando divide um triangulo rectangulo da forma indicada, os dois triangulos mais pequenos são semelhantes ao inicial. Assim, usando directamente a razão de semelhança entre lados, conclui que \(\frac {12}{y}=\frac yx\), ou seja,\(12x = y^2\). por outro lado, o teorema de Pitágoras garante que \(x^2+y^2=8^2\), pelo que pode determinar x,y resolvendo o sistema

\(\left\{\begin{array}{l} 12x = y^2 \\ x^2+y^2=64 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 12x = 64-x^2 \\ y^2=64-x^2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 12x = y^2 \\ x^2+y^2=64 \end{array} \right\)

As solução da primeira equação são x = -16 e x = 4, pelo que a única admissível é x=4. Substituindo na segunda equação obtemos \(y= 4 \sqrt{3}\).

A resolução é em tudo equivalente à que foi proposta pelo Baltuilhe.