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Sabendo que \(\sin \, x = \frac{1}{3}\) e \(90^o \leq x \leq 180^o\), o valor de \(\frac{\csc \, x - \sec \, x}{\cot \, x - 1}\) é?

Se escrever todas as funções intervenientes em termos de senos e cossenos, verá que a expressão a calcular é \(\frac{1}{\cos x}\). Se \(\sin x =\frac 13\) então \(\cos x = \pm \sqrt{1-(1/3)^2}\). Como o ângulo pertence ao segundo quadrante, o cosseno é negativo, pelo que \(\cos x = -\sqrt{1-\frac 19} = -\frac{2 \sqrt{2}}{3}\). O valor da expressão pedida é então \(-\frac{3}{2 \sqrt{2}} = -\frac{3 \sqrt{2}}{4}\).