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Alguém poderia ajudar nesta questão? Considere a condição x² + x > 1/4 - sen(alfa) para todo x real, 0 ≤ (alfa) ≤ Pi e sejam os intervalos [0, Pi/6], [Pi/6, 2Pi/3], [2Pi/3, 5Pi/6] e [5Pi/6, Pi]. Então o número de intervalos que contém pelo menos um valor de (alfa) que satisfaz a condição dada é:
Resposta: 2
Desde já fico grato.

O menor valor que \(x^2+x\) pode tomar é \(-\frac 14\). Assim, para a condição proposta ser válida para qualquer x, basta que \(\frac 14 - \sin \alpha < -\frac 14\), isto é, que \(\sin \alpha > \frac 12\). Consegue prosseguir?

Creio que seja isto.
O menor valor que x² + x pode tomar é -1/4. Assim, para a condição proposta ser válida para qualquer x, basta que 1/4 - seno alfa < -1/4, isto é, sen alfa> 1/2

Como o intervalo de respostas está entre 0 e Pi, sen alfa =1/2 - > alfa= Pi/6 e 5Pi/6
Como sen alfa > 1/2 está no intervalo Pi/6 > x > 5Pi/6 então estará contido nos intervalos [Pi/6, 2Pi/3], [2Pi/3, 5Pi/6] portanto 2 intervalos

Apenas ficou a dúvida x2 + x > 1/4 - sen alfa, o menor valor que x² + x poderia tomar não seria quando sen alfa tivesse o maior valor, ou seja o valor unitário e ficaríamos com x² + x > 1/4 - 1 -> x² + x >-3/4 ???

Esqueçs por um momento o lado direito... A função \(x^2+x\) representa uma parábola, com a concavidade voltada para cima,m que atinge o seu mínimo no vértice, ponto onde a derivada se anula. Assim o mínimo é atingido para x = -1/2 e o valor desse mínimo é \((-1/2)^2 - 1/2 = -1/4\).

Perfeito. Grato pela atenção.