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Trigonometria: Função relacionada com fenómenos reais
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=11403		 Página 1 de 1
Autor:  dininis [ 20 jun 2016, 15:54 ]
Título da Pergunta:  Trigonometria: Função relacionada com fenómenos reais
Boas, podem-me dizer o que o "a","k","b", e "d" significam na seguinte função:
\(y=a\;sin[k(x-b)]+c\)

Eu, se não estou enganado, seria a amplitude, constante, deslocamento horizontal, e deslocamento vertical, respetivamente.
Se assim o for, como é que esse valores são calculados? Existe alguma fórmula específica?

Tenho o seguinte exemplo:
Spoiler:
Citar:
Durante o dia 06/05/2012 um navio encontrou-se atracado no porto de Viana do Castelo.
A distância \(\textrm{h}\) de um ponto do casco do navio ao fundo do mar variou com a maré entre um valor mínimo de 10,5m e um valor máximo de 13,5m.
Sabe-se que, às 10 horas e 30 minutos, essa distância era de 11,8m e que a maré estava a subir.
Sabendo que o gráfico de \(\textrm{h}\) é aproximadamente sinusoidal, determine uma expressão para \(\textrm{h}\)(note que os valores das marés se repetem de 12 em 12 horas)

Com a seguinte resolução, e procedimento:
Spoiler:
Citar:
\(\textrm{h}\) é do tipo \(\textrm{h}(\textrm{t})=a\;sin[k(x-b)]+c\)
O mínimo da função é 10.5m
O máximo da funçao é 13.5m.
O contradomínio de \(\textrm{h}\) é \([10,5 ; 13,5]\)

Podemos, assim, concluir que:
Amplitude: \(\textrm{a}=\frac{13,5-13,5}{2}=1,5\)
Deslocamento Vertical: \(\textrm{c}=\frac{10,5+13,5}{2}=12\)
Periodo: 12 (assumo que sejam as tais 12h) \(\textrm{p}=12\Leftrightarrow \frac{2\pi}{\left | \textrm{k} \right |}=12\Leftrightarrow\textrm{k}=\frac{\pi}{6}\)


Substituindo em \(\textrm{h}(\textrm{t})\), vem:
Para determinar o valor de \(\textrm{b}\) sabemos que \(\textrm{h}(10,5)=11,8\), e que numa vizinhança de 10,5 a função é crescente.

\(\textrm{h}(\textrm{t})=\textrm{h}(\textrm{10,5})=11,8\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow 1,5\;sin[\frac{\pi}{6}(10,5-b)]+12=11,8\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow sin[\frac{\pi}{6}(10,5-b)]=\frac{0,2}{1,5}\)

A parte que não percebo, mesmo, é o que se segue...
Citar:
\(sin[\frac{\pi}{6}(10,5-b)]=\frac{0,2}{1,5}\Rightarrow \frac{\pi}{6}(10,5-b)\approx -1,337\;\;\vee \;\;\frac{\pi}{6}(10,5-b)\approx \pi+1,337\Leftrightarrow\)

Depois acaba por calcular b=10,74, porque a maré, naquele instante, tem que estar a subir.

Em suma, no fundo isto acaba por ser, na verdade, duas perguntas, mas estão relacionadas...
1) Existem fórmulas para calcular a,k,b, e c?
2) Como o que é colocado no último "quote" é feito?
Autor:  dininis [ 20 jun 2016, 18:37 ]
Título da Pergunta:  Re: Trigonometria: Função relacionada com fenómenos reais  [resolvida]
Após alguma pesquisa, conclui o seguinte: (para estes casos)
\(\textrm{a}=\frac{Maximo-Minimo}{2}\)
\(P = \frac{2\pi}{\left | k \right |}\Leftrightarrow \left | k \right | = \frac{2\pi}{P}\)
\(c = \frac{Maximo+Minimo}{2}\)
\(b = f(x)-b\)

Pela pesquisa que fiz, neste tipo de problema tem que ser dado:
o periodo (P) ou a constante (K),
o contradomínio, ou os máximos e mínimos da função, ou a amplitude e deslocamento vertical,
e um ponto conhecido da função (para calcular b no fim)

Com esse dados será possível calcular tudo o que é n\(\frac{\pi}{6}(10,5-b)=-\frac{0,2}{1,5}\; \vee \;x=\pi-(-\frac{0,2}{1,5})\Leftrightarrow\)
ecessário para encontrar o deslocamento horizontal e, assim, proceder ao que é pedido.

Quanto ao 2º ponto da questão, vou assumir que se enganaram, pelo seguinte motivo:
\(sin(x)=sin(\alpha )\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow x=\alpha + 2k\pi\; \vee \;x=\pi-\alpha+2k\pi\)
\(\frac{\pi}{6}(10,5-b)=-\frac{0,2}{1,5}\; \vee \;x=\pi-(-\frac{0,2}{1,5})\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \frac{\pi}{6}(10,5-b)=-0,1333\; \vee \;x=\pi+0,1333\)

Se estiver errado, peço-vos o grande favor de corrigirem!
Autor:  dininis [ 20 jun 2016, 18:39 ]
Título da Pergunta:  Re: Trigonometria: Função relacionada com fenómenos reais
dininis Escreveu:
(...)Com esse dados será possível calcular tudo o que é n\(\frac{\pi}{6}(10,5-b)=-\frac{0,2}{1,5}\; \vee \;x=\pi-(-\frac{0,2}{1,5})\Leftrightarrow\)
ecessário para encontrar o deslocamento horizontal e, assim, proceder ao que é pedido.

devia estar assim:
dininis Escreveu:
(...)Com esse dados será possível calcular tudo o que é necessário para encontrar o deslocamento horizontal e, assim, proceder ao que é pedido.
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