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no triangulo ABC,os angulos A e B medem respectivamente,66º e74º,AH É uma altura,M é médio de BC e N é médio de AC.o angulo HNM mede:

Pode anexar uma figura, MariaDuarte1?

Olá,

o angulo HNM mede 26,75º, atendendo que AH representa uma perpendicular no segmento BC e M, N são as perpendiculares, no ponto médio dos respectivos segmentos BC e AC.

Até.

Faltam dados sobre o exercício, supostamente o geogebra deu este resultado, para quaisquer medidas dos segmentos do triangulo.

a) Quais as medidas dos segmentos AB, BC, CA?
b) É um triangulo isósceles, equilátero ?
c) O segmento NM é paralelo ao segmento AB e os segmentos BC e AC são do mesmo comprimento?

Em c) o calculo é facilitado uma vez que o valor do angulo C é :

C = 180 - (66 + 70) = 44

MNC = (180 - 44) / 2 = 68

logo N = 90 - 68 = 22

Até.

As medidas dos lados não são importantes neste caso, se quiser pode pensar que \(\bar{AB} = 1\). Se modificar esta medida obtém figuras semelhantes, em que todos os ângulos correspondentes são iguais.

O triângulo em causa é escaleno. Como todos os ângulos são diferentes (66, 74, 40), o mesmo acontece com os lados. Pode determinar as suas medidas usando a lei dos senos

\(\frac{\bar{AB}}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\)

Se usar \(\bar{AB} = 1\), terá

\(\bar{AC} = \frac{\sin 74^o}{\sin 40^o}\approx 1.49546; \qquad \bar{BC} = \frac{\sin 66^o}{\sin 40^o}\approx 1.42122\)

Construindo o triângulo no geogebra com estas medidas de lados (e correspondentes ângulos), obtêm-se um valor de 34º para o ângulo pedido.

ATENÇÃO: Isto não é uma demonstração... apenas pretende fornecer uma resposta para que possa ter a certeza da sua resolução.

Obrigado,

por lapso utilizei 70º em vez de 74, o que induziu o resultado a 22º em vez de 20º.

De qualquer modo obrigado.

Utilizamos a regras dos senos, cosenos referida anteriormente, para calcular o valor AB, BC, CA

Referente ao triangulo Ahh', seja,

\(sin(90-B) = Bh / AB\) ,temos \(Bh = AB * sin(90-B)\) (\(sin(90-B) = cos(B)\))

\(hC = BC - Bh = BC - AB * cos(B)\)

\(cos(90-B) = hA / AB\) , temos \(hA = AB * sin(B)\) (\(cos(90-B) = sin(B)\))

\(cos [A-(90-B)] = Ah' / hA\) , temos \(Ah' = hA * cos(A+B-90) = AB * sin(B) * cos(A+B-90)\)

\(h'N = AC - Ah' - NC = AC - AB * sin(B) * cos(A+B-90) - AC / 2 = AC / 2 -AB * sin(B) * cos(A+B-90)\)

Referente ao triangulo hNh', seja,

\(Tg ( alfa ) = hh' / h'N = [AB * sin(B) * sin(A+B-90)] / [ AC / 2 - AB * sin(B) * cos(A+B-90)]\)

Sendo \(alfa = arcTg [AB * sin(B) * sin(A+B-90)] / [ AC / 2 - AB * sin(B) * cos(A+B-90)]\)

Referente ao triangulo MCM', seja,

\(sin[180-(A+B)] = MM' / MC\) ,temos \(MM' = ( BC / 2 ) * sin[180-(A+B)]\)

\(cos[180-(A+B)] = M'C / MC\) ,temos \(M'C = ( BC / 2 ) * cos[180-(A+B)]\)

\(NM' = NC - M'C = ( AC / 2 ) - ( BC / 2 ) * cos[180-(A+B)]\)

Referente ao triangulo MNM', seja,

\(Tg (teta) = MM' / NM' = [ ( BC / 2 ) * sin[180-(A+B)] ]/ [( AC / 2 ) - ( BC / 2 ) * cos[180-(A+B) ]\)

(\(sin[180-A+B)] = sin(A+B)\) e \(cos[180-A+B)] = - cos(A+B)\))

Sendo \(teta = arcTg [[ BC * sin(A+B)]/ [AC + BC * cos(A+B) ]\)

Para o calculo do angulo beta temos,

\(beta = 180 - alfa - teta\), não esquecer que estamos a trabalhar com graus, pelo que temos de :

\(alfa = arcTg [AB * sin(B * Pi / 180) * sin[(A+B-90)* Pi / 180] ] / [ AC / 2 - AB * sin(B* Pi / 180) * cos[(A+B-90)* Pi / 180] ]\)

\(teta = arcTg [[ BC * sin[(A+B)* Pi / 180]]/ [AC + BC * cos[(A+B)* Pi / 180] ]\)

Salvo erros nas equações, este é o caso geral, cujo resultado é teta = 180º - 80º - 66º = 34º