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Se um recipiente de alumínio, com o formato de um cilindro sem tampa, contém 11^3.pi m^3 de água.?
Determine a quantidade mínima de metros quadrados de alumínio necessários para a confecção do recipiente.

Resolução

x é o diâmetro do recipiente, y é sua altura, Af é a área do fundo, Al é a área lateral,
A é a área total = Af + Al e V é o volume

\(Af=\frac{\pi.x^2}{4}\ (1)\\Al=\pi.x.y\ (2)\\A=Af+Al=\frac{\pi.x^2}{4}+\pi.x.y\ (3)\)
\(V=Af.y=11^3.\pi=>\frac{\pi.x^2}{4}.y=11^3.\pi=>x^2.y=4.11^3=>\\ y=\frac{4.11^3}{x^2}\ (4)\)
\((4)\rightarrow (3)=>A=\frac{\pi.x^2}{4}+\frac{4.11^3.\pi}{x}\)

\(\frac{dA}{dx}=0=>\frac{\pi.x}{2}-\frac{4.11^3.\pi}{x^2}=0=>\)

\(\pi.x^3=2.4.11^3.\pi=>\)

\(x^3=2^3.11^3=>x=22\ m\ (diametro)\)

\(x\rightarrow (4)=>y=\frac{4.11^3}{22^2}=11\ m\ (altura)\\Af=\frac{\pi}{4}.22^2=121\pi\ m^2\\Al=\pi.x.y=22.11.\pi=212\pi\ m^2\\A=333\pi\ m^2\ (area\ total)\)